文章目录

z域分析（注意与s域类比）
- 1 差分方程的z变换解
- 2 系统函数H(z)H(z)H(z)
- 3 系统函数与系统特性
- 4 离散系统稳定性判据
- 5 系统的方框图
- 6 系统的z域信号流图
- - 6. 1 框图与信号流图对应关系：
  - 6.2 信号流图规则：
  - 6.3 由框图到信号流图
  - 6.4 梅森公式
- 7 离散系统的模拟
- - 7.1 直接形式
  - 7.2 级联形式
  - 7.3 并联形式
- 8 系统对正弦序列的响应
- 9 LTI离散系统的频率响应
- 10 系统函数零极点的配置实现滤波系统
- - 10.1 频率响应的计算
- 11 数字滤波器的分类
- 12 冲激响应不变法设计IIR滤波器
- 13 双线性变换法设计IIR滤波器
- 14 窗函数法实现FIR滤波器设计

z域分析（注意与s域类比）

1 差分方程的z变换解

单边zzz变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，故可求系统的零输入、零状态响应和全响应。

∑i=0nan−iy(k−i)=∑j=0mbm−jf(k−j)\sum_{i=0}^{n} a_{n-i} y(k-i)=\sum_{j=0}^{m} b_{m-j} f(k-j) i=0∑nan−iy(k−i)=j=0∑mbm−jf(k−j)

设f(k)f(k)f(k)在k=0k=0k=0时接入，系统初始状态为y(−1)，y(−2)，...y(−n)y(-1)，y(-2)，...y(-n)y(−1)，y(−2)，...y(−n)

取单边 z 变换得：

∑i=0nan−i[z−iY(z)+∑k=0i−1y(k−i)z−i]=∑j=0mbm−j[z−jF(z)]\sum_{i=0}^{n} a_{n-i}\left[z^{-i} Y(z)+\sum_{k=0}^{i-1} y(k-i) z^{-i}\right]=\sum_{j=0}^{m} b_{m-j}\left[z^{-j} F(z)\right] i=0∑nan−i[z−iY(z)+k=0∑i−1y(k−i)z−i]=j=0∑mbm−j[z−jF(z)]

[∑i=0nan−iz−i]Y(z)+∑i=0nan−i[∑k=0i−1y(k−i)z−k]=(∑j=0mbm−jz−j)F(z)\left[\sum_{i=0}^{n} a_{n-i} z^{-i}\right] Y(z)+\sum_{i=0}^{n} a_{n-i}\left[\sum_{k=0}^{i-1} y(k-i) z^{-k}\right]=\left(\sum_{j=0}^{m} b_{m-j} z^{-j}\right) F(z) [i=0∑nan−iz−i]Y(z)+i=0∑nan−i[k=0∑i−1y(k−i)z−k]=(j=0∑mbm−jz−j)F(z)

Y(z)=M(z)A(z)+B(z)A(z)F(z)=Yzi(z)+Yzs(z)Y(z)=\frac{M(z)}{A(z)}+\frac{B(z)}{A(z)} F(z)=Y_{z i}(z)+Y_{z s}(z) Y(z)=A(z)M(z)+A(z)B(z)F(z)=Yzi(z)+Yzs(z)

系统函数：
H(z)=Yzs(z)F(z)=B(z)A(z)H(z)=\frac{Y_{z s}(z)}{F(z)}=\frac{B(z)}{A(z)} H(z)=F(z)Yzs(z)=A(z)B(z)

h(k)←→H(z)h(k) \leftarrow \rightarrow H(z) h(k)←→H(z)

2 系统函数H(z)H(z)H(z)

分解f(k)=12πj∮F(z)zzkdz,−∞<k<∞f(k)=\frac{1}{2 \pi j} \oint \frac{F(z)}{z} z^{k} d z, \quad-\infty<k<\inftyf(k)=2πj1∮zF(z)zkdz,−∞<k<∞

任意信号可以分解为基本信号zkz^kzk的线性组合，基本信号zkz^kzk通过系统产生响应zkH(z)z^kH(z)zkH(z)

基本信号：
12πjF(z)zzk→12πjF(z)z⋅zk⋅H(z)\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}z^k\rightarrow \frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^k\cdot H(z) 2πj1zF(z)zk→2πj1zF(z)⋅zk⋅H(z)
积分：
∮12πjF(z)zdz→∮12πjF(z)z⋅zk⋅H(z)dz=∮12πjF(z)⋅H(z)z⋅zkdz\oint\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}dz\rightarrow \oint\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^k\cdot H(z)dz=\oint\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)\cdot H(z)}{z}\cdot z^kdz ∮2πj1zF(z)dz→∮2πj1zF(z)⋅zk⋅H(z)dz=∮2πj1zF(z)⋅H(z)⋅zkdz

1、定义：
H(z)=Yzs(z)F(z)H(z)=\frac{Y_{z s}(z)}{F(z)}H(z)=F(z)Yzs(z)

2、物理意义：
H(z)=Z[h(k)]H(z)=\mathscr{Z}[h(k)] H(z)=Z[h(k)]

3、计算方法：

(1) H(z)=Yzs(z)F(z)H(z)=\frac{Y_{z s}(z)}{F(z)}H(z)=F(z)Yzs(z)

(2) H(z)=Z[h(k)]H(z)=\mathscr{Z}[h(k)]H(z)=Z[h(k)]

(3) 由系统差分方程求H(z)H(z)H(z)

核心：输入信号的z变换乘系统函数等于输出零状态响应的z变换。然后再反变换。

4、系统函数H(z)H(z)H(z)的应用：

（1）yzs(k)=z−1[Yzs(z)],Yzs(z)=H(z)F(z)y_{z s}(k)=\mathscr{z}^{-1}\left[Y_{z s}(z)\right], Y_{z s}(z)=H(z) F(z)yzs(k)=z−1[Yzs(z)],Yzs(z)=H(z)F(z)

（2）h(k)=Z−1[H(z)]h(k)=\mathscr{Z}^{-1}[H(z)]h(k)=Z−1[H(z)]

（3）f(k)=z−1[F(z)],F(z)=Yzs(z)H(z)f(k)=\mathscr{z}^{-1}[F(z)], F(z)=\frac{Y_{z s}(z)}{H(z)}f(k)=z−1[F(z)],F(z)=H(z)Yzs(z)

（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等。

3 系统函数与系统特性

1、离散系统的零点和极点：

H(z)=B(z)A(z)=bmzm+bm−1zm−1+⋯+b0zn+an−1zn−1+⋯+a0H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_{m} z^{m}+b_{m-1} z^{m-1}+\cdots+b_{0}}{z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0}} H(z)=A(z)B(z)=zn+an−1zn−1+⋯+a0bmzm+bm−1zm−1+⋯+b0
=bm(z−ξ1)(z−ξ2)⋯(z−ξm)(z−P1)(z−P2)⋯(z−Pn)=bm∏j=1m(z−ξj)∏i=1n(z−Pi),m≤n=\frac{b_{m}\left(z-\xi_{1}\right)\left(z-\xi_{2}\right) \cdots\left(z-\xi_{m}\right)}{\left(z-P_{1}\right)\left(z-P_{2}\right) \cdots\left(z-P_{n}\right)}=\frac{b_{m} \prod_{j=1}^{m}\left(z-\xi_{j}\right)}{\prod_{i=1}^{n}\left(z-P_{i}\right)}, \quad m \leq n =(z−P1)(z−P2)⋯(z−Pn)bm(z−ξ1)(z−ξ2)⋯(z−ξm)=∏i=1n(z−Pi)bm∏j=1m(z−ξj),m≤n
其中：
ξi,i=1,2,⋯,m\xi_{i} \quad, \quad i=1,2, \cdots, \quad mξi,i=1,2,⋯,m称为H(z)H(z)H(z)的零点

pj,j=1,2,⋯,np_{j} \quad, \quad j=1,2, \cdots, npj,j=1,2,⋯,n称为H(z)H(z)H(z)的极点(极：极大)

零/极点的种类：实数、复数 (复数零、极点必共轭 )一阶、二阶及二阶以上极点

2、离散系统 H(z)H(z)H(z)的零、极点与h(k)h(k)h(k)的的关系：

（1）单位圆内的极点：
在实轴上：

一阶极点：Azz−a→Aakε(k),∣a∣<1\frac{A z}{z-a} \rightarrow A a^{k} \varepsilon(k), \quad \textcolor{blue}{|a|<1}z−aAz→Aakε(k),∣a∣<1
二阶极点：Az(z−a)2→Akakε(k)\frac{A z}{(z-a)^{2}} \rightarrow A k a^{k} \varepsilon(k)(z−a)2Az→Akakε(k)

不在实轴上：

一阶极点：A1zz−rejβ+A1∗zz−re−jβ→2∣A1∣rkcos⁡(βk+θ)ε(k),r<1\frac{A_{1} z}{z-r e^{j \beta}}+\frac{A_{1}^{*} z}{z-r e^{-j \beta}} \rightarrow 2\left|A_{1}\right| r^{k} \cos (\beta k+\theta) \varepsilon(k), \quad \textcolor{blue}{r<1}z−rejβA1z+z−re−jβA1∗z→2∣A1∣rkcos(βk+θ)ε(k),r<1
二阶极点：A1z(z−rejβ)2+A1∗z(z−re−jβ)2→2∣A1∣rk−1cos⁡[β(k−1)+θ]ε(k)\frac{A_{1} z}{\left(z-r e^{j \beta}\right)^{2}}+\frac{A_{1}^{*} z}{\left(z-r e^{-j \beta}\right)^{2}} \rightarrow 2\left|A_{1}\right| r^{k-1} \cos [\beta(k-1)+\theta] \varepsilon(k)(z−rejβ)2A1z+(z−re−jβ)2A1∗z→2∣A1∣rk−1cos[β(k−1)+θ]ε(k)

（2）单位圆上的极点：
在实轴上：

一阶极点：Azz±1↔A(±1)kε(k)\frac{A z}{z \pm 1} \leftrightarrow A(\pm 1)^{k} \varepsilon(k)z±1Az↔A(±1)kε(k)
二阶极点：Az(z±1)2↔Ak(±1)kε(k)\frac{A z}{(z \pm 1)^{2}} \leftrightarrow A \textcolor{red}{k}(\pm 1)^{k} \varepsilon(k)(z±1)2Az↔Ak(±1)kε(k)

不在实轴上：

一阶极点：Azz−rejβ+A∗zz−re−jβ↔2∣A∣cos⁡(βk+θ)ε(k)\frac{A z}{z-r e^{j \beta}}+\frac{A^{*} z}{z-r e^{-j \beta} \leftrightarrow} 2|A| \cos (\beta k+\theta) \varepsilon(k)z−rejβAz+z−re−jβ↔A∗z2∣A∣cos(βk+θ)ε(k)
二阶极点：Az(z−rejβ)2+A∗z(z−re−jβ)2↔2∣A∣kcos⁡[β(k−1)+θ]ε(k)\frac{A z}{\left(z-r e^{j \beta}\right)^{2}}+\frac{A^{*} z}{\left(z-r e^{-j \beta}\right)^{2}} \leftrightarrow 2|A| \textcolor{red}{k} \cos [\beta(k-1)+\theta] \varepsilon(k)(z−rejβ)2Az+(z−re−jβ)2A∗z↔2∣A∣kcos[β(k−1)+θ]ε(k)

（3）单位圆外的极点：
在实轴上：
Azz−a↔Aakε(k),∣a∣>1\frac{A z}{z-a} \leftrightarrow A a^{k} \varepsilon(k),\textcolor{blue}{|a|>1} z−aAz↔Aakε(k),∣a∣>1Az(z−a)2↔Akak−1ε(k)\frac{A z}{(z-a)^{2}} \leftrightarrow A k a^{k-1} \varepsilon(k) (z−a)2Az↔Akak−1ε(k)
不在实轴上：
Azz−rejβ+A′′zz−re−jβ↔2∣A∣rkcos⁡(βk+θ)ε(k),r>1\frac{A z}{z-r e^{j \beta}}+\frac{A^{\prime \prime} z}{z-r e^{-j \beta}} \leftrightarrow 2|A| r^{k} \cos (\beta k+\theta) \varepsilon(k), \textcolor{blue}{r>1}z−rejβAz+z−re−jβA′′z↔2∣A∣rkcos(βk+θ)ε(k),r>1

结论：
(1) H(z)H(z)H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)h(k)h(k)按指数规律衰减；
(2) H(z)H(z)H(z)的极点在单位圆上:

一阶极点对应h(k)h(k)h(k)为稳态分量；
二阶及二阶以上极点对应h(k)h(k)h(k)增长。

(3) H(z)H(z)H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)h(k)h(k)按指数规律增长。

4 离散系统稳定性判据

(1) 离散系统稳定的时域充要条件：
∑k=−∞∞∣h(k)∣<∞\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h(k)|<\inftyk=−∞∑∞∣h(k)∣<∞

(2) 离散系统稳定性的Z域充要条件：
若LTI离散系统的系统函数H(z)H(z)H(z)的收敛域包含单位圆，则系统为稳定系统。

若LTI离散因果系统稳定，要求其系统函数H(z)H(z)H(z)的极
点全部在单位圆内

F(z)=zz−1F(z)=\frac{z}{z-1}F(z)=z−1z

(3) 离散因果系统稳定性判定－－朱里准则

H(z)=B(z)A(z)=bmzm+bm−1zm−1+⋯+b0anzn+an−1zn−1+⋯+a0H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_{m} z^{m}+b_{m-1} z^{m-1}+\cdots+b_{0}}{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{0}}H(z)=A(z)B(z)=anzn+an−1zn−1+⋯+a0bmzm+bm−1zm−1+⋯+b0

要判断A(z)=0A(z)=0A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。

第3行按下列规则计算：
cn−1=∣ana0a0an∣cn−2=∣ana1a0an−1∣cn−3=∣ana2a0an−2∣⋯c_{n-1}=\left|\begin{array}{cc}a_{n} & a_{0} \\a_{0} & a_{n}\end{array}\right| \quad c_{n-2}=\left|\begin{array}{cc}a_{n} & a_{1} \\a_{0} & a_{n-1}\end{array}\right| \quad c_{n-3}=\left|\begin{array}{cc}a_{n} & a_{2} \\a_{0} & a_{n-2}\end{array}\right| \quad \cdotscn−1=∣∣∣∣ana0a0an∣∣∣∣cn−2=∣∣∣∣ana0a1an−1∣∣∣∣cn−3=∣∣∣∣ana0a2an−2∣∣∣∣⋯

一直到第2n−32n-32n−3行，该行有3个元素。

朱里准则指出:
A(z)=0A(z)=0A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:

(1) A(1)>0A(1)>0A(1)>0

(2) (−1)nA(−1)>0(-1)^{n} A(-1)>0(−1)nA(−1)>0

(3) an>∣a0∣cn−1>∣c0∣dn−2>∣d0∣……r2>∣r0∣\begin{array}{llll}a_{n}>\left|a_{0}\right| & c_{n-1}>\left|c_{0}\right| & d_{n-2}>\left|d_{0}\right| \ldots \ldots & r_{2}>\left|r_{0}\right|\end{array}an>∣a0∣cn−1>∣c0∣dn−2>∣d0∣……r2>∣r0∣

对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。

特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0A(z)=a_{2} z^{2}+a_{1} z+a_{0}A(z)=a2z2+a1z+a0，易得A(1)>0,A(−1)>0,a2>∣a0∣A(1)>0, A(-1)>0, a_{2}>\left|a_{0}\right|A(1)>0,A(−1)>0,a2>∣a0∣

5 系统的方框图

6 系统的z域信号流图

6. 1 框图与信号流图对应关系：

6.2 信号流图规则：

6.3 由框图到信号流图

6.4 梅森公式

7 离散系统的模拟

7.1 直接形式

7.2 级联形式

7.3 并联形式

8 系统对正弦序列的响应

正弦稳态序列通过系统后依然是正弦稳态的，不过幅度和相位发生变化。

9 LTI离散系统的频率响应

正弦稳态序列通过系统后依然是正弦稳态的，不过幅度和相位根据H(ejΩT)H(e^{j\Omega T})H(ejΩT)发生变化。

10 系统函数零极点的配置实现滤波系统

10.1 频率响应的计算

(1)低通滤波器的零极点配置

(2)高通滤波器的零极点配置

11 数字滤波器的分类

理想数字滤波器的频率特性如图所示，这些频率特性都是以 2π2π2π 为周期的连续函数。

对数字滤波器频率特性只要给出ΩTΩTΩT在0π0~π0 π区间内H(ejΩT)H(e^{jΩT})H(ejΩT)的变化情况即可，即寻求系统函数H(z)H(z)H(z)，满足或者逼近性能要求。

ak=0a_k=0ak=0,则H(z)H(z)H(z)没有分母，即没有反馈。

而有分母即有反馈情况下可以无限循环，所以叫IIR。

12 冲激响应不变法设计IIR滤波器

13 双线性变换法设计IIR滤波器

14 窗函数法实现FIR滤波器设计

中国大学MOOC：信号与系统，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

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