2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第七小题参考答案
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§07 第七小题
7、已知x[n]x\left[ n \right]x[n]是长度为N的序列。X[k]=DFT{x[n]}X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}X[k]=DFT{x[n]}。把x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度扩大rrr倍，即：y[n]={x[n],0≤n≤N−10,N≤n≤rN−1y\begin{bmatrix} n \end{bmatrix} = \left\{ \begin{matrix} {x\begin{bmatrix} n \end{bmatrix},\,\,\,\,0 \le n \le N - 1}\\{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,N \le n \le rN - 1}\\\end{matrix} \right.y[n]={x[n],0≤n≤N−10,N≤n≤rN−1又：
Y[k1]=DFT[y[n]]Y\left[ {k_1 } \right] = DFT\left[ {y\left[ n \right]} \right]Y[k1]=DFT[y[n]]，0≤k≤rN−10 \le k \le rN - 10≤k≤rN−1。
求Y[k]Y\left[ k \right]Y[k]与X[k]X\left[ k \right]X[k]的关系。
▓ 求解
（1）
Y[k1]=∑n=0rN−1y[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1x[n]⋅WrNnk1Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{rN - 1} {y\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } }Y[k1]=n=0∑rN−1y[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk1r=X[k1r]= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk_1 } \over r}} } = X\left[ {{{k_1 } \over r}} \right]=n=0∑N−1x[n]⋅WNrnk1=X[rk1]
（2）
Y[k1]=∑n=0N−1x[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1(1N∑k=0N−1X[k]⋅WN−nk)⋅WrNnk1Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } \, = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( {{1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right] \cdot W_N^{ - nk} } } \right)} \cdot W_{rN}^{nk_1 }Y[k1]=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1(N1k=0∑N−1X[k]⋅WN−nk)⋅WrNnk1=1N∑k=0N−1X[k]∑n=0N−1WrN−nkrWrNnk1=1N∑n=0N−1X[k]1−WrNk1N1−WrNk1−kr= {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W_{rN}^{ - nkr} W_{rN}^{nk_1 } } } = {1 \over N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]{{1 - W_{rN}^{k_1 N} } \over {1 - W_{rN}^{k_1 - kr} }}}=N1k=0∑N−1X[k]n=0∑N−1WrN−nkrWrNnk1=N1n=0∑N−1X[k]1−WrNk1−kr1−WrNk1N
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