2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第八小题参考答案
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§08 第八小题
8、 以下序列的长度为\nN.，求其离散傅里叶变换的闭合表达式。
（1） x[n]=sin(ω0n)RN[n]x\left[ n \right] = \sin \left( {\omega _0 n} \right)R_N \left[ n \right]x[n]=sin(ω0n)RN[n]
（2） x[n]=an⋅RN[n]x\left[ n \right] = a^n \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=an⋅RN[n]
（3） n2⋅RN[n]n^2 \cdot R_N \left[ n \right]n2⋅RN[n]
▓ 求解
（1）
X(k)=∑n=0N−1sin(ω0n)⋅e−j2πknNX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\sin \left( {\omega _0 n} \right) \cdot e^{ - j{{2\pi kn} \over N}} }X(k)=n=0∑N−1sin(ω0n)⋅e−jN2πkn
=∑n=0N−112j(ejω0n−e−jω0n)⋅e−j2πkN⋅n= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{1 \over {2j}}\left( {e^{j\omega _0 n} - e^{ - j\omega _0 n} } \right) \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N} \cdot n} }=n=0∑N−12j1(ejω0n−e−jω0n)⋅e−jN2πk⋅n
=12j[1−ejω0N1−ej(ω0−2πkN)−1−e−jω0N1−e−j(ω0+2πkN)]= {1 \over {2j}}\left[ {{{1 - e^{j\omega _0 N} } \over {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} }} - {{1 - e^{ - j\omega _0 N} } \over {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} }}} \right]=2j1[1−ej(ω0−N2πk)1−ejω0N−1−e−j(ω0+N2πk)1−e−jω0N]
=12j⋅(1−ejω0N)⋅(1−e−j(ω0+2πkN))−(1−e−jω0N)⋅(1−ej(ω0−2πkN))(1−ej(ω0−2πkN))⋅(1−e−j(ω0+2πkN))= {1 \over {2j}} \cdot {{\left( {1 - e^{j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) - \left( {1 - e^{ - j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 {\rm{ - }}{{{\rm{2}}\pi k} \over N}} \right)} } \right)} \over {\left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right)}}=2j1⋅(1−ej(ω0−N2πk))⋅(1−e−j(ω0+N2πk))(1−ejω0N)⋅(1−e−j(ω0+N2πk))−(1−e−jω0N)⋅(1−ej(ω0−N2πk))
=sinω0e−j2πkN−sin(ω0N)+sin(ω0N−ω0)e−j2πkN1−2cosω0e−j2πkN+e−j4πkN= {{\sin \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} - \sin \left( {\omega _0 N} \right) + \sin \left( {\omega _0 N - \omega _0 } \right)e^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \over {1 - 2\cos \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} + e^{ - j{{4\pi k} \over N}} }}=1−2cosω0e−jN2πk+e−jN4πksinω0e−jN2πk−sin(ω0N)+sin(ω0N−ω0)e−jN2πk
（2）
X(k)=∑n=0N−1ane−j2πNknX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n e^{ - j{{2\pi } \over N}kn} }X(k)=n=0∑N−1ane−jN2πkn=1−(ae−j2πkN)N1−a⋅e−j2πkN=1−aN1−a⋅e−j2πkN= {{1 - \left( {ae^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \right)^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }} = {{1 - a^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }}=1−a⋅e−jN2πk1−(ae−jN2πk)N=1−a⋅e−jN2πk1−aN
（3）
∑n=0N−1nWn=W+2W2+⋅⋅⋅+(N−1)WN−1\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {nW^n } = W + 2W^2 + \cdot \cdot \cdot + \left( {N - 1} \right)W^{N - 1}n=0∑N−1nWn=W+2W2+⋅⋅⋅+(N−1)WN−1=W+W2+⋅⋅⋅+WN−1+= W + W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +=W+W2+⋅⋅⋅+WN−1+W2+⋅⋅⋅+WN−1+W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +W2+⋅⋅⋅+WN−1+W3+⋅⋅⋅+WN−1+W^3 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +W3+⋅⋅⋅+WN−1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅WN−1W^{N - 1}WN−1
=W−WN1−W+W2−WN1−W+⋅⋅⋅+WN−1−WN1−W= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{W^2 - W^N } \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{W^{N - 1} - W^N } \over {1 - W}}=1−WW−WN+1−WW2−WN+⋅⋅⋅+1−WWN−1−WN=∑n=0N−1Wn−N⋅WN1−W=W−WN1−W−(N−1)WN1−W= {{\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W^n } - N \cdot W^N } \over {1 - W}} = {{{{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)W^N } \over {1 - W}}=1−Wn=0∑N−1Wn−N⋅WN=1−W1−WW−WN−(N−1)WN=W−11−W−(N−1)1−W=−N1−W= {{{{W - 1} \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)} \over {1 - W}} = {{ - N} \over {1 - W}}=1−W1−WW−1−(N−1)=1−W−N
∑n=0N−1n2Wn=W+4W2+9W3+⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {n^2 W^n } = W + 4W^2 + 9W^3 + \cdot \cdot \cdot + \left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}n=0∑N−1n2Wn=W+4W2+9W3+⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1=W+W2+W3+⋅⋅⋅+WN−1+= W + W^2 + W^3 + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + W^{N - 1} +=W+W2+W3+⋅⋅⋅+WN−1+3W2+3W3+⋅⋅⋅+3WN−1+3W^2 + 3W^3 + \;\;\;\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3W^{N - 1} +3W2+3W3+⋅⋅⋅+3WN−1+5W3+⋅⋅⋅+5WN−1+5W^3 + \,\,\,\,\,\,\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5W^{N - 1} +5W3+⋅⋅⋅+5WN−1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1\left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}(2N−3)WN−1
$$$$=W−WN1−W+3(W2−WN)1−W+5(W3−WN)1−W+⋅⋅⋅+(2N−3)(WN−1−WN)1−W= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{3\left( {W^2 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + {{5\left( {W^3 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{\left( {2N - 3} \right)\left( {W^{N - 1} - W^N } \right)} \over {1 - W}}=1−WW−WN+1−W3(W2−WN)+1−W5(W3−WN)+⋅⋅⋅+1−W(2N−3)(WN−1−WN)=11−W[∑k=1N−1(2k−1)Wk−∑k=1N−1(2k−1)WN]= {1 \over {1 - W}}\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)W^k } - \sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} W^N } \right]=1−W1[k=1∑N−1(2k−1)Wk−k=1∑N−1(2k−1)WN]=11−W[2∑n=1N−1nWn−∑n=1N−1Wn−∑n=1N−1(2k−1)]= {1 \over {1 - W}}\left[ {2\sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {nW^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {W^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} } \right]=1−W1[2n=1∑N−1nWn−n=1∑N−1Wn−n=1∑N−1(2k−1)]=11−W[2⋅−N1−W−W−WN1−W−(N−1)2]= {1 \over {1 - W}}\left[ {2 \cdot {{ - N} \over {1 - W}} - {{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)^2 } \right]=1−W1[2⋅1−W−N−1−WW−WN−(N−1)2]=−2N−(W−1)−(N−1)(1−W)(1−W)2=N(N−1)W−N2(1−W)2= {{ - 2N - \left( {W - 1} \right) - \left( {N - 1} \right)\left( {1 - W} \right)} \over {\left( {1 - W} \right)^2 }} = {{N\left( {N - 1} \right)W - N^2 } \over {\left( {1 - W} \right)^2 }}=(1−W)2−2N−(W−1)−(N−1)(1−W)=(1−W)2N(N−1)W−N2
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