2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案
▓ 第十四次作业各小题参考答案：
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§01 第一小题
1、用闭式表达以下有限长序列的DFT：(1)x[n]=δ[n]\left( 1 \right)\,\,\,\,x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right](1)x[n]=δ[n](2)x[n]=δ[n−n0],(0<n0<N)\left( 2 \right)\,\,\,\,x\left[ n \right] = \delta \left[ {n - n_0 } \right],\,\,\,\,\left( {0 < n_0 < N} \right)(2)x[n]=δ[n−n0],(0<n0<N)(3)x[n]=anRN[n]\left( 3 \right)\,\,\,\,x\left[ n \right] = a^n R_N \left[ n \right](3)x[n]=anRN[n](4)x[n]=ejω0nRN[n]\left( 4 \right)\,\,\,\,x\left[ n \right] = e^{j\omega _0 n} R_N \left[ n \right](4)x[n]=ejω0nRN[n]
§02 第二小题
2、x[n]x\left[ n \right]x[n]如下图所示，试绘出解答：
（1） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的之线卷积；
（2） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]之4点圆卷积；
（3） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n] 之10点的圆卷积；
（4）预使x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值。
§03 第三小题
3、已知序列x[n]={1,2,3,4,5}x\left[ n \right] = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}x[n]={1,2,3,4,5}，h[n]={1,1,1,1}h\left[ n \right] = \left\{ {1,1,1,1} \right\}h[n]={1,1,1,1}，求：
（1） y[n]=x[n]∗h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]y[n]=x[n]∗h[n]
（2）y[n]=x[n]⊗7h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right]y[n]=x[n]⊗7h[n]
（3）y[n]=x[n]⊗8h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right]y[n]=x[n]⊗8h[n]
注：⊗7,⊗8\otimes _7 , \otimes _8⊗7,⊗8分别表示长度为7，8的圆卷积。
§04 第四小题
4、设x[n]x\left[ n \right]x[n]为一有限长序列，当n<0n < 0n<0和n≥Nn \ge Nn≥N时，且NNN是偶数。已知DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]，试利用X[k]X\left[ k \right]X[k]来表示以下各序列的DFT：
（1）x1[n]=x[N−1−n]x_1 \left[ n \right] = x\left[ {N - 1 - n} \right]x1[n]=x[N−1−n]（2）x2[n]=(−1)nx[n]x_2 \left[ n \right] = \left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]x2[n]=(−1)nx[n]（3）
（4）
（5）
（6）
（DFT有限长度为 2N）
（7）x7[n]=x[2n]x_7 \left[ n \right] = x\left[ {2n} \right]x7[n]=x[2n]（DFT有限长度为N/2）
§05 第五小题
5、有一FFT处理器，用来估计实数信号的频谱。要求指标：
（1） 频率间的分辨率为 f1≤5Hzf_1 \le 5Hzf1≤5Hz；
（2）信号的最高频率 ≤1.25kHz\le 1.25kHz≤1.25kHz；
（3）点数N必须是2的整数次方。
试确定：
（1） 记录长度T1T_1T1；
（2）抽样点间的时间间隔TsT_sTs；
（3）一个记录过程的点数NNN。
§06 第六小题
6、已知序列x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度为128，h[n]h\left[ n \right]h[n]的长度为12.
（1）用直接卷积法求其线卷积，给出乘法的次数；
（2）采用基-2 快速傅里叶的快速卷积发，给出乘法的次数；
（3）比较以上结果，给出你的结论。
§07 第七小题
7、已知x[n]x\left[ n \right]x[n]是长度为N的序列。X[k]=DFT{x[n]}X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}X[k]=DFT{x[n]}。把x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度扩大rrr倍，即：y[n]={x[n],0≤n≤N−10,N≤n≤rN−1y\begin{bmatrix} n \end{bmatrix} = \left\{ \begin{matrix} {x\begin{bmatrix} n \end{bmatrix},\,\,\,\,0 \le n \le N - 1}\\{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,N \le n \le rN - 1}\\\end{matrix} \right.y[n]={x[n],0≤n≤N−10,N≤n≤rN−1又：
Y[k1]=DFT[y[n]]Y\left[ {k_1 } \right] = DFT\left[ {y\left[ n \right]} \right]Y[k1]=DFT[y[n]]，0≤k≤rN−10 \le k \le rN - 10≤k≤rN−1。
求Y[k]Y\left[ k \right]Y[k]与X[k]X\left[ k \right]X[k]的关系。
§08 第八小题
8、 以下序列的长度为\nN.，求其离散傅里叶变换的闭合表达式。
（1） x[n]=sin(ω0n)RN[n]x\left[ n \right] = \sin \left( {\omega _0 n} \right)R_N \left[ n \right]x[n]=sin(ω0n)RN[n]
（2） x[n]=an⋅RN[n]x\left[ n \right] = a^n \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=an⋅RN[n]
（3） n2⋅RN[n]n^2 \cdot R_N \left[ n \right]n2⋅RN[n]
§09 第九小题
9、证明DFT的对称性质：
若：DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]，则DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅RN[n]DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot x\left( {\left( { - k} \right)} \right)_N \cdot R_N \left[ n \right]DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅RN[n]。
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