2.3 中国剩余定理

在《孙子算经》里有这么一段话：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”意思就是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
用数学公式描述，就是：
x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 ) x \equiv 2\;(mod\;3)\\ x \equiv 3\;(mod\;5)\\ x \equiv 2\;(mod\;7) x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)
≡ \equiv ≡是等价符号，整个公式表示同余。 x ≡ 2 ( m o d 3 ) x \equiv 2\;(mod\;3) x≡2(mod3)表示x和2除于3的余数是相等的。很明显，解不止一个，23就是其中一个解。3、5、7的最小公倍数是105,对于所有除于105余23的正整数，也就是23+105N（N取任意正整数）都是这个方程的解。所以解集就是同余类[23]₁₀₅，最小公倍数是容易计算出来的，但最重要的是我们要求这个同余类的余数23。
如果用brute-force算法，从1到105之间循环，每个数用同余方程组验证，那肯定能算出来。如果开发时间比较紧，brute-force是最好的办法。
但是实际上，这个问题早就有答案了。用数学方式描述下计算过程就是：
假设线性同余方程组为
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x ≡ a 3 ( m o d m 3 ) ⋮ x ≡ a n ( m o d m n ) x \equiv a_1\;(mod\;m_1)\\ x \equiv a_2\;(mod\;m_2)\\ x \equiv a_3\;(mod\;m_3)\\ \vdots\\ x \equiv a_n\;(mod\;m_n)\\ x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)x≡a3(modm3)⋮x≡an(modmn)
假设M为m₁到M_n的最小公倍数。b_i=M/M_i。再定义c_i=b₁^-1(mod M_i).这里的-1符号不是-1次方的意思，而是在M_i下的模乘逆元的意思。那么结果就是
x = ( ∑ i = 0 n a i b i c i ) ( m o d M ) x=(\sum_{i=0}^na_ib_ic_i)(mod\;M)\\ x=(i=0∑naibici)(modM)
公式，我这里就不花时间证明了，知乎、CSDN有大佬的证明过程，这里我给出了python代码：

# _*_ coding:utf-8 _*_
from com.youngthing.mathalgorithm.extend_euclid import modular_inversedef crt(a_array, m_array):# 假设m互质，这里就不做质因数分解了m_pi = 1for m in m_array:m_pi *= mx = 0for i, a in enumerate(a_array):m = m_array[i]b = m_pi // mx += a * (b) * modular_inverse(b, m)return x % m_piif __name__ == '__main__':print(crt([2, 3, 2], [3, 5, 7]))

测试结果为23。代码中用到的模乘逆元，可以看本专栏另一个篇文章：3 模乘逆元-扩展欧几里得法

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