CF338D GCD Table（拓展中国剩余定理，细节处理，2900分）

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CF338D GCD Table（拓展中国剩余定理，细节处理，2900分）

Problem

有一张 n×mn\times mn×m 的表格 GGG，第 iii 行第 jjj 列的元素是 G(i,j)=gcd⁡(i,j)G(i,j)=\gcd(i,j)G(i,j)=gcd(i,j) 。给定一个长度为 kkk 的序列 aia_iai ，询问是否存在 x,yx,yx,y，满足 ∀i,1≤i≤k,G(x,y+i−1)=gcd⁡(x,y+i−1)=ai\forall i,1\le i\le k,G(x,y+i-1)=\gcd(x,y+i-1)=a_i∀i,1≤i≤k,G(x,y+i−1)=gcd(x,y+i−1)=ai （即问是否有在表格范围内的解 (x,y)(x,y)(x,y) ）。

数据范围：1≤n,m≤1012,1≤k≤104,1≤ai≤10121\le n,m\le 10^{12},1\le k\le 10^4,1\le a_i\le 10^{12}1≤n,m≤1012,1≤k≤104,1≤ai≤1012

Solution

根据题意显然可以列出：

{gcd⁡(x,y+1−1)=a1gcd⁡(x,y+2−1)=a2⋯gcd⁡(x,y+k−1)=ak\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,y+1-1) & = & a_1 \\ \gcd(x,y+2-1) & = & a_2 \\ \cdots\\ \gcd(x,y+k-1)& = & a_k \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧gcd(x,y+1−1)gcd(x,y+2−1)⋯gcd(x,y+k−1)===a1a2ak

我们知道 gcd⁡(a,b)=c\gcd(a,b) =cgcd(a,b)=c，经典套路，显然有：a=k1c,b=k2c,k1∤k2a=k_1c,b=k_2c,k_1\nmid k_2a=k1c,b=k2c,k1∤k2

即：
a∣c,b∣c⇒x∣ai,y+i−1∣aia\mid c,b\mid c\Rightarrow x\mid a_i,y+i-1\mid a_i a∣c,b∣c⇒x∣ai,y+i−1∣ai

即：

x≡0modaiy≡(1−i)modai\begin{aligned}&x\equiv0 \bmod a_i&\\&y\equiv(1-i)\bmod a_i\end{aligned} x≡0modaiy≡(1−i)modai

所以我们可以列出一个同余方程组：

{y≡(1−1)moda1y≡(1−2)moda2⋯y≡(1−k)modak\left\{ \begin{aligned}&y\equiv(1-1)\bmod a_1&\\&y\equiv(1-2)\bmod a_2\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots&\\&y\equiv(1-k)\bmod a_k\end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y≡(1−1)moda1y≡(1−2)moda2 ⋯y≡(1−k)modak

显然 aia_iai 不一定是质数，所以我们直接使用拓展中国剩余定理求解即可，这样我们就可以求出一个合法的 yyy。

那么如何求出最小的（不容易越界）且合法的 xxx 呢，显然 xxx 可以整除所有的 aia_iai，那么满足条件的最小的 xxx 显然是 lcm{ai}\text{lcm}\{ a_{i} \}lcm{ai}。

求出 x,yx,yx,y 以后验证一下开头列出来的 gcd⁡\gcdgcd 是否完全相同，以及 G(x,y+i−1)G(x,y+i-1)G(x,y+i−1) 中的 (x,y+i−1)(x,y+i-1)(x,y+i−1) 是否在 GGG 函数的定义域内即可。（我们只需要判断 x,y+i−1,y+k−1x,y+i-1,y+k-1x,y+i−1,y+k−1 是否越界即可）

Hint

这里如果给定的模数均为 111 的话，直接用 excrt 板子求出来的是 000 ，此时应该是答案取任意值均可，但是这里如果答案取 000 的话 y<1y<1y<1 会判负，实际上是有解的，所以这里要特判一下。
龟速乘的时候，如果乘的是负数的话需要 a,ba,ba,b 同时取反，否则会死循环hhh

Code

// Problem: D. GCD Table
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #196 (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/338/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e4 + 7;int n, m, k, t;
int a[N], LCM;
int ai[N], bi[N];template <typename T> inline void read(T& t) {int f = 0, c = getchar(); t = 0; while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();while (isdigit(c)) t = t * 10 + c - 48, c = getchar();if (f) t = -t;
}template <typename T> void print(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
} int gcd(int a, int b)
{if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}int lcm(int a, int b)
{return a / gcd(a, b) * b;
}int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, x, y);int z = x;x = y, y = z - a / b * y; return d;
}int mul(int a, int b, int c)
{if(b < 0) a = - a, b = - b;int res = 0;while(b) {if(b & 1) res = (res + a) % c;a = (a + a) % c;b >>= 1;}return res;
}ll excrt(int n)
{ll x, y, k;ll M = bi[1], ans = ai[1];for(int i = 2; i <= n; ++ i) {ll a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;ll d = exgcd(a, b, x, y);ll bg = b / d;if(c % d != 0) return -1;x = mul(x, c / d, bg);ans += x * M;M *= bg;ans = (ans % M + M) % M;} ans = (ans % M + M) % M;if(ans == 0) ans = M;//ans = 1;return ans;
}signed main()
{LCM = 1;read(n), read(m), read(k);for(int i = 1; i <= k; ++ i) {read(a[i]);LCM = lcm(LCM, a[i]);}if(k > m) return puts("NO"), 0;for(int i = 1; i <= k; ++ i) {bi[i] = a[i];ai[i] = (1 - i + a[i]) % a[i];}int x = LCM, y = excrt(k); if(y == -1) return puts("NO"), 0;for(int i = 1; i <= k; ++ i) {if(gcd(x, y + i - 1) != a[i]) return puts("NO"), 0;}     if(y < 1 || x < 1 || y + k - 1 > m || x > n) return puts("NO"), 0;return puts("YES"), 0;
}

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