• Fundamentals

压缩率：压缩前比上压缩后

相对数据冗余：压缩比越大，相对冗余越大

二维灰度阵列（理解为一个个像素）是人们观察和解释图像的首选格式，并且以它作为判定所有其他表示的标准，然而，当它变成紧凑的图像表示时，这些格式就远不是最佳格式了。通常用于人类观看和解释的2-D像素阵列必须转换为一种更有效(但通常是“非视觉”)的格式

–Pixel differences 像素差
–Run-lengths游程长度
–A set of transform coefficients一组变换系数
•DFT, DCT, WT, …

二维灰度阵列的三种冗余类型：编码冗余、时间和空间冗余、不相关信息也叫感知冗余（精神视觉上的冗余，就是有些图片信息以人的视觉系统根本感知不到，所以可以去除）

评价信息图像信息保真的三个客观方面

均方误差：

加^的f为压缩后的图像

信噪比：

信息/误差

信噪比的均方误差：

编码冗余

一张图片：M*N=n个像素

灰度范围：[0,L-1]；灰度级数为L；rk为某一个灰度值∈[0,L-1]；Pr(rk)为每个rk发生的概率

如果用于表示每个rk值的比特数为l(rk)，则表示每个像素所需的平均比特数为

有时候像素的灰度信息不需要那么多比特数来支持，就会出现冗余，自然编码一般会比变长编码所用的bit数更多或相同

本章要求会计算一张图使用某种编码方式的平均比特数和比特数，以及压缩率和相对冗余

所以到底多少个bit编码会更加合适呢？

图像信息的度量

信息熵H：

假如一件事情发生的概率P(E)，那么定义这件事情的信息为

I(E)=-log(P(E))——对数的底决定了度量信息所用的单位，比如是2的话，就是用二进制表示

也挺好理解的，比如说一件事情发生的概率P=0.5，并且我要用二进制表示，那么这件事情的信息就是I=1，也就是说用一个二进制数就可以表示整个事件的信息，事实也确实如此，因为该事件要么为0要么为1各占50%，所以一个二进制数就够了

那么图像的信息熵可以表示为

【这里该有一张图】

理论上不能用小于信息熵的编码平均长度来编码这个图像，不然会丢失信息

无损压缩中的编码平均长度不可能小于信息熵

• Image Compression Models图像压缩模型

图像压缩系统：编码器+解码器

一个器又包括两个：source和channel，前者处理图像冗余，后者加强传输抗噪性，目前只讲source的编码器和解码器

Mapper:将输入数据转换为(通常是非可视的)格式，以减少空间和时间冗余，刚才fundamental的第二部分介绍的就是转换的三种方式

Quantizer:降低制图者输出的准确性，以减少心理视觉冗余

Symbol coder:创建一个固定长度或可变长度的代码来表示量化器输出

• Error-Free Compression无损压缩

无损压缩就是把Quantizer部分去掉了，量化是不可逆的，量化是有损的根源，只做mapper不量化同样无损，但此时的mapper也没有意义。

所以无损压缩只能在编码方式上作文章了

会介绍到的编码方式

•Variable-Length Coding
        –Huffman coding
        –Other near optimal variable length codes
        –sua
•LZW Coding
•Bit-Plane Coding
•Lossless Predictive Coding

变长编码Variable-Length Coding

变长编码的思路就是给概率最大的情况赋予最短的码字，以此类推

但变长编码要求知道信源的概率分布

霍夫曼编码

由下至上构建哈夫曼树，然后左右树杈代表0，1由上至下编码。可以自行百度很好理解。

哈夫曼解码的时候相当于一个查表的过程

截断的霍夫曼编码&B-code&others

效果那肯定还是哈夫曼最好（见下面avg length），但为了减少计算的复杂性提高效率，截断就是说前面一些频率高的用哈夫曼编码，后面的就正常编码好了（或者参考后两行的方法直接加111or00），这张图的截断系数为12（见右侧）

算数编码Arithmetic coding

统计每个灰度的概率（probablility）同时在0~1中分配属于他们概率的区域，如下面图的第一列；当第一个数字为a1时，将a1部分的长度再次细分，同样按照每个灰度的概率进行分配，第二个数字是a2，于是将a2部分继续细分，一次类推，最后输出的是 “ 当前间隔 ” 的下边界，就是该给定事件序列的算术编码。比如下图给a1a2a3a3a4编码的输出是0.06752

如何解码？

0.06752属于0~1的a1部分——解出a1

0.06752属于0~0.2的a2部分——解出a2

0.06752属于0.04~0.08的a3部分——解出a3

……

随着被编码序列长度的增加，所得到的算术编码接近无噪声编码理论所确定的界限（信息熵长度）

lA为平均编码长度，m随着编码序列长度的增加而增加，H是信息熵

字典编码LZW Coding

这个博主的编码和解码过程都写得很好看完这个之后，下面是几个要点

为源符号的变长序列分配固定长度的码字，但不需要预先知道要编码的符号出现的概率；比如灰度为256，那就要预留0~255为原符号编码区域，其余部分用灰度级序列填充字典

然后现在试着还原一下下面的编码，看你能不能得到相同的Encoded Output

位平面编码Bit-Plane Coding

分别处理图像的位平面-将多层(单色或彩色)图像分解为一系列二值图像-通过几种著名的二值压缩方法之一对每个二值图像进行压缩

比如说灰度级为256的图像，是由8bit编码的，假如一个像素的编码值为10010110

位平面编码就是将这八个bit分为八张独立的二值图——那么上面这个像素在这八张二值图里面的值分别为1，0，0，1，0，1，1，0

然后再对这八张二值图使用二值图的压缩方法进行压缩（比如游程编码）

举个例子，将该图的每个bit抽出为二值图后

可以发现高阶位平面远没有低阶位平面复杂。但是大的黑白灰关系却是高阶位影响的。

下面是两种二值图常用的编码方式

constant area coding

游程编码

预测编码Lossless Predictive Coding

因为相邻的像素之间一般不会突变，是有相似关系的，所以一个像素可以用其之前的像素，或者左上角的像素来进行预测。编码的是预测值减去实际值的误差。

感觉这个写的还不错其实也很好理解，下一篇有损压缩会更预测编码（maybe）

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