初等数论--同余方程--同余方程组：中国剩余定理

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

中国剩余定理：
若正整数m1,m2,……mkm_1,m_2,……m_km1,m2,……mk两两互素，那么对于任意kkk个整数a1,a2……aka_1,a_2……a_ka1,a2……ak，则对于同余方程组
{x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)x≡a3(modm3)……………x≡ak(modmk)\left\{ \begin{aligned} x\equiv a_1(mod m_1) \\ x\equiv a_2(mod m_2) \\ x\equiv a_3(mod m_3) \\ ……………\\ x\equiv a_k(mod m_k) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)x≡a3(modm3)……………x≡ak(modmk)
我们可以得到以下结论：

该同余方程组有解
模∏i=1kmi\prod_{i=1}^{k}m_i∏i=1kmi的解个数为1
该解为x≡M1M1−1a1+M2M2−1a2+……+MkMk−1ak(modm),x\equiv M_1M_1^{-1}a_1+M_2M_2^{-1}a_2+……+M_kM_k^{-1}a_k(mod m),x≡M1M1−1a1+M2M2−1a2+……+MkMk−1ak(modm),其中Mi=mmi,MiMi−1≡1(modmi),m=∏i=1kmi,1≤∀i≤kM_i=\frac{m}{m_i},M_iM_i^{-1}\equiv 1(mod m_i),m=\prod_{i=1}^{k}m_i,1\le {\forall}i \le kMi=mim,MiMi−1≡1(modmi),m=∏i=1kmi,1≤∀i≤k

证明：

该解形式存在

因为Mi=mmiM_i=\frac{m}{m_i}Mi=mim,正整数m1,m2,……mkm_1,m_2,……m_km1,m2,……mk两两互素，所以(Mi,mi)=1,→MiMi−1≡1(modmi)(M_i,m_i)=1,\rightarrow M_iM_i^{-1}\equiv 1(mod m_i)(Mi,mi)=1,→MiMi−1≡1(modmi)中Mi−1M_i^{-1}Mi−1存在。

该解确实是方程组的解

因为MiMi−1≡1(modm),mi∣Mj(i≠j)M_iM_i^{-1}\equiv 1(mod m),m_i\mid M_j(i\neq j)MiMi−1≡1(modm),mi∣Mj(i=j)，所以xxx满足方程组，是方程组的解。

模∏i=1kmi\prod_{i=1}^{k}m_i∏i=1kmi的解个数为1

反证法：假设存在x1,x2x_1,x_2x1,x2同时满足，则
x1≡x2≡ai(modmi)x_1\equiv x_2\equiv a_i(mod m_i)x1≡x2≡ai(modmi)
即mi∣x1−x2→x1−x2m_i\mid x_1-x_2\rightarrow x_1-x_2mi∣x1−x2→x1−x2是[m1,m2,……,mk][m_1,m_2,……,m_k][m1,m2,……,mk]的倍数，而m=[m1,m2,……,mk]m=[m_1,m_2,……,m_k]m=[m1,m2,……,mk]，即m∣x1−x2→x1≡x2(modm)m\mid x_1-x_2\rightarrow x_1\equiv x_2(mod m)m∣x1−x2→x1≡x2(modm)

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