归并排序时间复杂度----主定理

http://blog.csdn.net/touch_2011/article/details/6785881

1、序言

这是《漫谈经典排序算法系列》第四篇，解析了归并排序。

各种排序算法的解析请参考如下：

《漫谈经典排序算法:一、从简单选择排序到堆排序的深度解析》

《漫谈经典排序算法:二、各种插入排序解析及性能比较》

《漫谈经典排序算法:三、冒泡排序 && 快速排序》

《漫谈经典排序算法:四、归并排序》

《漫谈经典排序算法:五、线性时间排序(计数、基数、桶排序)》

《漫谈经典排序算法:六、各种排序算法总结》

注：为了叙述方便，本文以及源代码中均不考虑A[0],默认下标从1开始。

2、归并排序

2.1 引出

归并排序又是另一类排序算法，它是一种基于“分治”策略的一种算法。归并排序算法是典型的分治算法，对于规模较大的问题，可以分解成若干容易求解的简单的问题，最后把解合并构成初始问题的解。详细的排序过程可以参考《数据结构》或者《算法导论》。

2.2 代码

[cpp] view plain copy

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#define INFINITE 1000

//对两个序列进行合并,数组从mid分开

//对a[start...mid]和a[start+1...end]进行合并

void merge(int *a,int start,int mid,int end)

{

int i,j,k;

//申请辅助数组

int *array1=(int *)malloc(sizeof(int)*(mid-start+2));

int *array2=(int *)malloc(sizeof(int)*(end-mid+1));

//把a从mid分开分别赋值给数组

for(i=0;i<mid-start+1;i++)

*(array1+i)=a[start+i];

*(array1+i)=INFINITE;//作为哨兵

for(i=0;i<end-mid;i++)

*(array2+i)=a[i+mid+1];

*(array2+i)=INFINITE;

//有序的归并到数组a中

i=j=0;

for(k=start;k<=end;k++){

if(*(array1+i) > *(array2+j)){

a[k]=*(array2+j);

j++;

}

else{

a[k]=*(array1+i);

i++;

}

}

free(array1);

free(array2);

}

//归并排序

void mergeSort(int *a,int start,int end)

{

int mid=(start+end)/2;

if(start<end){

//分解

mergeSort(a,start,mid);

mergeSort(a,mid+1,end);

//合并

merge(a,start,mid,end);

}

}

void main()

{

int i;

int a[7]={0,3,5,8,9,1,2};//不考虑a[0]

mergeSort(a,1,6);

for(i=1;i<=6;i++)

printf("%-4d",a[i]);

printf("\n");

}

2.3 效率分析

可以说合并排序是比较复杂的排序，特别是对于不了解分治法基本思想的同学来说可能难以理解。总时间=分解时间+解决问题时间+合并时间。分解时间就是把一个待排序序列分解成两序列，时间为一常数，时间复杂度o(1).解决问题时间是两个递归式，把一个规模为n的问题分成两个规模分别为n/2的子问题，时间为2T(n/2).合并时间复杂度为o（n）。总时间T(n)=2T(n/2)+o(n).这个递归式可以用递归树来解，其解是o(nlogn).此外在最坏、最佳、平均情况下归并排序时间复杂度均为o(nlogn).从合并过程中可以看出合并排序稳定。

用递归树的方法解递归式T(n)=2T(n/2)+o(n):假设解决最后的子问题用时为常数c，则对于n个待排序记录来说整个问题的规模为cn。

从这个递归树可以看出，第一层时间代价为cn，第二层时间代价为cn/2+cn/2=cn.....每一层代价都是cn，总共有logn+1层。所以总的时间代价为cn*(logn+1).时间复杂度是o(nlogn).

3、附录

参考书籍: 《算法导论》

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