基于主定理以及递推树求解递归算法的时间复杂度

非递归算法的时间复杂度可以通过找到执行次数最多的代码，计算其执行次数即可。但是递归算法的时间复杂度则无法通过这种方式求得。有一种最简单的求递归算法的方式，即利用递推方法求解时间复杂度。如下所示：

这种方法求时间复杂度很简单，但是可以如此简单的使用这种方法的情况很少，往往需要比较复杂的公式推导。因此利用这种方法求时间复杂度比较困难，需要利用别的方式进行求导。主要是以下两种方式：主定理、递推树。

1.主定理

递归算法的时间复杂度定义一般有如下形式：

在大部分情况下，可以通过主定理，求解该问题的时间复杂度。
注：要求 a大于等于1，b大于1，且f(n)为正函数。

计算步骤

其中，规则1，2是比较简单就可以计算出来的，规则3则比较复杂。

例题1

通过计算可得:

而f(n)的时间复杂度为O(1)=O(n^(2-2)),也就是说

符合第一种情况，则

例题2

通过计算可得：

而f(n)的时间复杂度为O(n)=O(n),也就是说,二者相等。

符合第二种情况，则

例题3

通过计算可得：

这种情况则应该套用规则三，

根据主定理的第三种规则，时间复杂度为：

反例

主定理求解的步骤不是很复杂，大部分的情况利用该定理可以得到解决，但是也有无法解决的情况：

由于这种情况，单纯的使用主定理已经无法解决了，因此引入递归树的求解方法。

递归树

基本原理如下所示：

递归树求解递归算法的时间复杂度，没有无法求解的情况，可能有的情况下求解时间复杂度很复杂，但是本质上都是可以求得的。

例题1

这种情况比较简单，但是里面有一个比较容易混淆的地方，在第二行的n/2,代表着数据量为n/2时，时间复杂度为n/2。这里代表的是时间复杂度，而不是数据量。看下面这个例子，

在第二层，分出了4个枝杈，这代表着表达式中的4。但是这4个枝杈，左边的两个代表第一个n/2的，右边的两个代表第二个n/2的。简而言之，递归树的层数，需要看T()的括号里面，而每一层的分支数，则需要看C*T()中的C。

例题2

这是主定理无法解决的那种情况，我们通过递归树来求一下。结果如下所示：

努力加油a啊