使用主定理求时间复杂度

很多算法最后都可以写出 T(n)=aT(nb)+f(n))(a≥1,b≥1)T(n)=aT(\frac{n}{b}) + f(n)) (a\ge1,b\ge1)T(n)=aT(bn)+f(n))(a≥1,b≥1) 的递推式。针对这种形式的递推式，通常情况下我们直接可以用主定理求解复杂度，而不需要笔和纸的帮助。

主定理

直接可用主定理

例1：T(n)=2T(n4)+1T(n)=2T(\frac{n}{4})+1T(n)=2T(4n)+1
- 解：由题目得：a=2,b=4,f(n)=1a=2,b=4,f(n)=1a=2,b=4,f(n)=1 ,此时 logba=log42=0.5log_{b}a=log_{4}2=0.5logba=log42=0.5 ,
  
  则只需要比较 n0.5n^{0.5}n0.5和 f(n)=1f(n)=1f(n)=1 的大小。
  
  可以利用主定理的第一种情况：
  
  存在常数 ε=0.5\varepsilon =0.5ε=0.5 使得有 f(n)=O(n0.5−0.5)f(n)=O(n^{0.5-0.5})f(n)=O(n0.5−0.5),则T(n)=Θ(n0.5)T(n)=\Theta(n^{0.5})T(n)=Θ(n0.5)
例2：T(n)=2T(n4)+nT(n)=2T(\frac{n}{4})+\sqrt{n}T(n)=2T(4n)+n
- 解：由题目得：a=2,b=4,f(n)=na=2,b=4,f(n)=\sqrt{n}a=2,b=4,f(n)=n ,此时 logba=log42=0.5log_{b}a=log_{4}2=0.5logba=log42=0.5 ,
  
  则只需要比较 n0.5n^{0.5}n0.5和 f(n)=nf(n)=\sqrt{n}f(n)=n 的大小。
  
  可以利用主定理的第二种情况：
  
  有 f(n)=O(n0.5)f(n)=O(n^{0.5})f(n)=O(n0.5),则T(n)=Θ(n0.5lgn)T(n)=\Theta(n^{0.5}lgn)T(n)=Θ(n0.5lgn)
例3：T(n)=2T(n4)+n2T(n)=2T(\frac{n}{4})+n^{2}T(n)=2T(4n)+n2
- 解：由题目得：a=2,b=4,f(n)=n2a=2,b=4,f(n)=n^{2}a=2,b=4,f(n)=n2 ,此时 logba=log42=0.5log_{b}a=log_{4}2=0.5logba=log42=0.5 ,
  
  则只需要比较 n0.5n^{0.5}n0.5和 f(n)=n2f(n)=n^{2}f(n)=n2 的大小。
  
  可以利用主定理的第三种情况：
  
  存在常数 ε=1.5\varepsilon =1.5ε=1.5 使得有 f(n)=Ω(n0.5+1.5)f(n)=\Omega(n^{0.5+1.5})f(n)=Ω(n0.5+1.5),且对常数 18<c<1\frac{1}{8}<c<181<c<1与所有足够大的nnn，有2∗(n4)2≤c∗n22*(\frac{n}{4})^{2}\le c*n^{2}2∗(4n)2≤c∗n2
  
  则T(n)=Θ(n2)T(n)=\Theta(n^{2})T(n)=Θ(n2)

转化之后可以利用主定理

有一些递推式看着不满足主定理的形式，但是转换之后可以使用主定理。

例1：T(n)=2T(n−1)+nT(n)=2T(n-1)+nT(n)=2T(n−1)+n
- 解：令n=lg(k)n=lg(k)n=lg(k)，
  
  则原式可化为：T(lg(k))=2T(lg(k2))+nT(lg(k))=2T(lg(\frac{k}{2}))+nT(lg(k))=2T(lg(2k))+n
  
  此时看着像主定理了，是吧。因为TTT 是一种关系，所以我们可以把关系 TTT 用 L(k)=T(lg(k))L(k)=T(lg(k))L(k)=T(lg(k))替换掉，则：
  
  L(k)=2L(k2)+lg(k)L(k)=2L(\frac{k}{2})+lg(k)L(k)=2L(2k)+lg(k)
  
  此时和上面一样可以应用主定理的第一种情况，得到L(k)=Θ(k)L(k)=\Theta(k)L(k)=Θ(k)
  
  再次代换回去得：L(k)=T(lg(k))=T(n)=Θ(k)=Θ(n2)L(k)=T(lg(k))=T(n)=\Theta(k)=\Theta(n^{2})L(k)=T(lg(k))=T(n)=Θ(k)=Θ(n2)
例2：T(n)=nT(n)+nT(n)=\sqrt{n}T(\sqrt{n})+nT(n)=nT(n)+n
- 解：令 n=2kn=2^kn=2k，
  
  则原式可化为：T(2k)=2k2T(2k2))+2kT(2^k)=2^{\frac{k}{2}}T(2^{\frac{k}{2}}))+2^kT(2k)=22kT(22k))+2k
  
  两边同时除以2k2^k2k得：T(2k)2k=T(2k2))2k2+1\frac{T(2^k)}{2^k}=\frac{T(2^{\frac{k}{2}}))}{2^{\frac{k}{2}}}+12kT(2k)=22kT(22k))+1
  
  此时看着像主定理了，是吧。因为TTT 是一种关系，所以我们可以把关系 TTT 用 L(k)=T(2k)2kL(k)=\frac{T(2^k)}{2^k}L(k)=2kT(2k)替换掉，则：
  
  L(k)=L(k2)+1L(k)=L(\frac{k}{2})+1L(k)=L(2k)+1
  
  此时和上面一样可以应用主定理的第二种情况，得到L(k)=Θ(lg(k))L(k)=\Theta(lg(k))L(k)=Θ(lg(k))
  
  再次代换回去得：L(k)=T(2k)2k=T(n)n=Θ(lg(k))=Θ(lg(lg(n)))L(k)=\frac{T(2^k)}{2^k}=\frac{T(n)}{n}=\Theta(lg(k))=\Theta(lg(lg(n)))L(k)=2kT(2k)=nT(n)=Θ(lg(k))=Θ(lg(lg(n)))
  
  整理可得：T(n)=nΘ(lg(lg(n)))=Θ(nlg(lg(n)))T(n)=n\Theta(lg(lg(n)))=\Theta(nlg(lg(n)))T(n)=nΘ(lg(lg(n)))=Θ(nlg(lg(n)))

使用主定理求时间复杂度相关推荐

时间复杂度主定理分析及练习
本文主要分析主定理,时间复杂度详细分析请移步至此.主定理是一种现在常用分析时间复杂度的方法,它主要适用于递归形式如下: 当和为常量且是一个渐进正函数时有以下三种情况: 如果,则如果,则如果 ...
主定理（Master Theorem）与时间复杂度
1. 问题 Karatsuba 大整数的快速乘积算法的运行时间(时间复杂度的递推关系式)为 T(n)=O(n)+4⋅T(n/2),求其最终的时间复杂度. 2. 主定理的内容 3. 分析所以根据主定理 ...
基于主定理以及递推树求解递归算法的时间复杂度
非递归算法的时间复杂度可以通过找到执行次数最多的代码,计算其执行次数即可.但是递归算法的时间复杂度则无法通过这种方式求得.有一种最简单的求递归算法的方式,即利用递推方法求解时间复杂度.如下所示: 这种 ...
时间复杂度、渐进记法、主定理
目录一 . 大 O 记法二.Ω 记法. 三. Θ记法四.小o记法五.命中缓存对时间效率的影响. 六.主定理时间复杂度反应了一个程序的运行时间关于实例个数变化而变化规律.在一个排序程序中,可能 ...
运用主定理计算递归问题时间复杂度
主定理符号Θ ,既是上界也是下界,等于. 符号O ,表示上界,时间复杂度小于等于该值. 符号Ω ,表示下界,时间复杂度大于等于该值. 意思就是Θ 是平均时间复杂度,O 是最坏情况下的复杂度,Ω 是最 ...
时间复杂度-主定理分析
目录 1.定理 2.举例 1.定理主定理分析是一种时间复杂度的计算方式,当时间复杂度推根据实际情况推算出来是下面T(n)的形式的时候,可以通过主定理分析计算它的时间复杂度. 其实就是根据前半部分的a ...
递归算法时间复杂度的数学证明过程（主定理）
由于平常的工作有时候会碰到递归,又刚好看到了这个主定理,因此多了解了一点,了解这个定理大致是怎么推导的.本文内容主要参照B站视频https://www.bilibili.com/video/BV1Q7 ...
主定理求解算法时间复杂度
主定理所谓主定理,就是用来解递归方程的一种方法,此方法可以用来求解大多数递归方程. 设递归方程为T(n)=aT(n/b)+f(n) (其中a≥1,b>1) 主定理: 1. 如果存在常数ε&g ...
递归算法复杂度与主定理的推导
一.基本概念分治法的基本思想分治法就是把一个大的问题分解成为若干个小的问题,求出小问题的解后合并即为大问题的解分治法能够解决的问题的一般特征该问题可以分解为若干规模规模较小的相同问题: 该问题 ...

使用主定理求时间复杂度

文章目录

使用主定理求时间复杂度

主定理

直接可用主定理

转化之后可以利用主定理

使用主定理求时间复杂度相关推荐

最新文章

热门文章