时间复杂度、渐进记法、主定理

一、大 O 记法

二、Ω 记法。

三、 Θ记法

四、小o记法

五、命中缓存对时间效率的影响。

六、主定理

时间复杂度反应了一个程序的运行时间关于实例个数变化而变化规律。在一个排序程序中，可能比较了 2n 次，但是执行步数可能达到了 2n^3 ，就不能直接判定程序运行时间是 n 的线性函数。两个程序比较次数一个是3n，一个是2n 那么不能说前者的花费的时间就要更慢些，因为在总的执行步数上未必会比后者多。

当实例个数足够多的时候，计量时间的方法叫做渐进记法，最常用的是 O(g(x)) 表示。其他常用还有 o ， Ω ， Θ 记法。

一、大 O 记法

当实例个数n足够多时，程序执行总步数 f(n) = O(g(n)) 时满足：

$\lim f(n)/g(n) <=C ,n \to \infty$

例如当程序执行步数为 f(n)= n^2+ 4log2 n 那么 f(n) = O(n^2) 成立， f(n) = O(n^3) 也成立。

二、Ω 记法。

当实例个数n足够多时，程序执行总步数 f(n) = Ω(g(n)) 时满足：

$\lim f(n)/\Omega (n) >=C ,n \to \infty$ 其中C为常数。

例如当程序执行步数为 f(n)= n^2+ 4log2 n 那么 f(n) = Ω(n^2) 成立， f(n) = Ω(n) 也成立。 f(n) = Ω(n^3) 不成立

三、 Θ记法

当实例个数n足够多时，程序执行总步数 f(n) = Θ(g(n)) 时满足：

$\lim f(n)/\Theta (n) =C ,n \to \infty$ 其中C为常数。

例如当程序执行步数为 f(n)= n^2+ 4log2 n 那么 f(n) = Θ(n^2) 成立， f(n) = Θ(n) 不成立。 f(n) = Θ(n^3) 不成立

四、小o记法

当实例个数n足够多时，程序执行总步数 f(n) = o(g(n)) 时满足：

当且仅当 f(n) =O(g(n)) 且 f(n) 不等于 Ω (g(n)) 时即

$\lim f(n)/g(n) = 0 ,n \to \infty$

例如当程序执行步数为 f(n)= n^2+ 4log2 n 那么 f(n) = o(n^2) 不成立， f(n) = o(n) 成立。 f(n) = o(n^3) 不成立

五、命中缓存对时间效率的影响。

在简单的计算机模型中，它的存储由1级缓存，二级缓存和主存构成。算术和逻辑操作由算术和逻辑单元（ALU）对存储在寄存器R中的数据进行处理来完成。通常主存的大小时几百MB，二级缓存大小不足1MB，1级缓存的大小是几十KB，寄存器的数量在8到32之间。容量越小的，读取效率越高。

程序在运行时，所有数据都在主存，当要读取数据时，程序会率先在1级缓存中去找，如果没有再去二级缓存去找，之后再去主存中去找，在缓存中读取的需要数据比起在主存中读取需要的数据效率来得高。如果在主存中找到需要的数据，会把它复制到在二级缓存，一级缓存和寄存器中，再进行操作。

因为缓存的存在，时程序相同执行步数的情况下，耗时也可能会大有不同。

例如有二维数组即矩阵的乘法运算

//程序1    i j k 的遍历方式
void multiplyMartix(int **a , int ** b ,int **c,int n){//初始化矩阵c 的值为 0 initial(c,0);for (int i =0 ; i< n ;i++)for (int j =0 ; j< n ;k++)for (int k =0 ; k< n ;k++)c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
}//效率的更高的程序二   i k j 的遍历方式
void multiplyMartix(int **a , int ** b ,int **c,int n){//初始化矩阵c 的值为 0 initial(c,0);for (int i =0 ; i< n ;i++)for (int k =0 ; k< n ;k++)for (int j =0 ; j< n ;k++)c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
}

由与第二个程序，再1次内部第3层循环中，每一次循环读的 a[i][k] 的临时变量都是同一个，所以缓存命中次数要比第1个程序占比来得高，效率更快。

六、主定理