离散数学的命题逻辑

数理逻辑: 命题逻辑 逻辑 逻辑不仅对理解数学推理十分重要，而且在计算机科学中有许多应用。这些逻辑规则用于计算机电路设计、计算机程序构造、程序正确性证明等许多方面！ 命题： 凡是具有确定真假意义的陈述句均称为命题。 命题的值: 若为“真”，用Ｔ或１表示； 若为“假”，用Ｆ或０表示。 由于一个命题的值只可能取“真”或“假”两种值，因此，命题逻辑也称为“二值逻辑”。 延伸阅读:模糊逻辑 例： 地球绕着月亮转。 1+1=3。 禁止烟火！ 地球有一天会爆炸。 明天会下雨吗？ x>5. 如果明天天气晴朗，我就到湘江边散步。 如果太阳从西边升起,我就可以长生不老。 9) 火星上有水。 简单命题(原子命题)——它不能再分解成更简单的命题。 在命题逻辑中，简单命题被看作是一个整体，不再分析其内部的逻辑形式。 常用大写字母：P，Q，R，…..表示简单命题。 例如：P: 4是质数，Q：所有人都爱学习 复合命题(命题的组合) 复合(杂)命题——命题可以通过逻辑联接词构成新的命题，即复合命题。复合命题的子命题也可以是复合命题。 例如： 如果明天天气晴朗，我就到湘江边散步。 如果太阳从西边升起,我就可以长生不老。 命题可以通过一些逻辑联结词构成新的命题(复合命题) 1.否定词: ? 定义：设Ｐ是命题，复合命题“?Ｐ”是Ｐ的否定，规定?Ｐ为真当且仅当Ｐ为假。 例：Ｐ： 长沙的秋天景色很美。?Ｐ： Q:上海处处都清洁。 ?Q： 　　 　定义：设Ｐ，Ｑ是命题，复合命题“Ｐ并且Ｑ”称为Ｐ和Ｑ的合取,写成Ｐ∧Ｑ。Ｐ∧Ｑ为真当且仅当Ｐ与Ｑ同时为真。真值表如下： 　 定义：设Ｐ，Ｑ是命题，复合命题“Ｐ或者Ｑ”称为Ｐ和Ｑ的析取,记为Ｐ∨Ｑ。Ｐ∨Ｑ为真当且仅当Ｐ与Ｑ至少有一个为真。真值表如下： 　 定义：设Ｐ，Ｑ是命题，复合命题“如果Ｐ，则Ｑ”称为Ｐ蕴涵Ｑ,记为:Ｐ?Ｑ。 称Ｐ为条件，Ｑ为结论。规定Ｐ?Ｑ为假当且仅当Ｐ为真而Ｑ为假。 　定义： 设Ｐ，Ｑ是命题，复合命题“Ｐ当且仅当Ｑ”称为Ｐ等值Ｑ。记为：Ｐ?Ｑ Ｐ?Ｑ为真当且仅当Ｐ与Ｑ同时为真或同时为假。 命题的符号化 使用上面介绍的逻辑联结词,可将一些自然语句翻译成逻辑式.即命题符号化. 例：用符号形式表示下列命题。 (1)　如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 (2)　如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 (3)　如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 (4)　只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 例:不是鱼死，就是网破 设Ｐ：鱼死，Ｑ：网破 则为： (P∧?Q) ∨(? P∧Q) 注意: 命题符号化时,由于自然语言丰富多彩且有时还具有二义性，只有在具体的语言环境中，每个联接词才有确切的含义，因此具体问题要具体分析; 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的(真)值，而与这些原子命题的具体内容无关。 上面定义的五个联结词，他们各自可以表示自然语言中的一些常用语句。要表达更复杂的语句，还可能会用到多个联结词，形成更复杂的复合命题。 例：以下符号串是命题公式，可按定义生成。 ((?P)?((P ?Q)?R)?Q)) 按约定可省掉一些()简化写成： ?P?(P?Q)?R?Q 命题公式的真假值是不确定的。当命题公式中所有的命题变元都代以命题时，命题公式就变为命题。 即所有公式中的命题变元用指定的命题(真值)代入(或指派)，就得到一个公式的值。 2.公式的解释(指派) 设G是命题公式，A1，A2，……An是出现在G中的所有命题变元，指定A1,A2,……An的一组真值(a1,a2,……an)ai?｛T,F｝,i=1,……n, 则这组真值称为公式G的一个解释。 例如公式:(P∧?Q) 的解释为:(T,T)(T,F),(F,T),(F,F) 或表示为:(1,1),(1,0),(0,1),(0,0) 例：公式：Ｐ?Ｑ在解释(0，0)，(0，1)和(1，1)下为真，在其他解释下为假。 (P→Q)∧R的真值表 判断 p ? (q?r) 和(p?q)?(p?r)是否等值的真值表 逻辑运算和位运算 计算机用位(bit)表示信息。位是一个具有两个可能值的符号，即0和1。计算机的位运算对应于逻辑联结词。只要在位运算符∧(AND)， ∨(OR)和⊕(XOR)的真值表中用1代替T，用0代替F即可。 信息一般用位串(即0和1构成的序列)表示。对位串的运算即可用来处理信息。 命题逻辑的应用 逻辑在数学、计算机科学一其他许多学科有着重要的应用。例如，数学，自然科学以及自然语言中的语句通常不太准确，