Acwing104. 货仓选址：贪心（绝对值不等式）

2024-06-17 03:05:58

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原题：
在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1~AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

分析：

分别是各个地点为x1,x2,...xk,...xnx_1,x_2,...x_k,...x_nx1,x2,...xk,...xn，仓库地址为x，则距离之和为
d=∣x1−x∣+∣x2−x∣+...+∣xk−x∣+...+∣xn−x∣使之最小d=|x_1-x|+|x_2-x|+...+|x_k-x|+...+|x_n-x|使之最小d=∣x1−x∣+∣x2−x∣+...+∣xk−x∣+...+∣xn−x∣使之最小

这个证明需要用到分组的思想，头和尾是一组，依次往里头和尾结合。

d=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+...+两两一组d=(|x_1-x|+|x_n-x|)+(|x_2-x|+|x_{n-1}-x|)+...+两两一组d=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+...+两两一组

然后用到 ∣x−a∣+∣x−b∣≥b−a|x-a|+|x-b|≥b-a∣x−a∣+∣x−b∣≥b−a求最小值的思路，当x介于a，b之间的时候取最小值（绝对值的几何意义）。上面的d最后的最小值就是在每一组的之间(x1,xn),(x2,xn−1)...(x_1,x_n),(x_2,x_{n-1})...(x1,xn),(x2,xn−1)...如果要同时满足，x只能落在最中间的那个区间或者中位数。

先排序，放在中位数的位置 a[n/2]。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N= 100010;
int a[N];int n;int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];sort(a,a+n);int res=0;for(int i=0;i<n;i++) res+=abs(a[i]-a[n/2]); //放在中位数的位置cout<<res<<endl;}

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