[绝对值不等式] 货仓选址(绝对值不等式+贪心)

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0. 前言
1. 排序不等式+贪心

0. 前言

最最最经典的绝对值不等式问题，有很多变种。这个题是最裸的模板题了。

1. 排序不等式+贪心

104. 货仓选址

贪心思路：

按照商店坐标从小到大排序，选择中位数

证明：

假设商店已经按照从小到大排序，记为 x1,x2,x3,...,xnx_1, x_2,x_3,...,x_nx1,x2,x3,...,xn，货仓在 xxx 位置。那么可计算得到总的距离之和为 f(x)=∣x1−x∣+∣x2−x∣+...+∣xn−x∣+f(x)=\mid x_1 -x\mid+\mid x_2 -x\mid+...+\mid x_n -x\mid+f(x)=∣x1−x∣+∣x2−x∣+...+∣xn−x∣+简单调整，得：f(x)=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+...f(x)=(\mid x_1 -x\mid+\mid x_n -x\mid)+(\mid x_2 -x\mid+\mid x_{n-1} -x\mid)+...f(x)=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+... 由简单的高中数学知识可知，∣a−x∣+∣b−x∣\mid a -x\mid+\mid b-x\mid∣a−x∣+∣b−x∣ 若求其最小值，可以数形结合转化为数轴上有点 a、ba、ba、b，再给一点 xxx，求 xxx 到 a、ba、ba、b 点的距离之和。则 xxx 可能出现在 a、ba、ba、b 点两侧和中间，总共三种位置关系。其中出现在中间的时候距离之和最小，即为 ∣a−b∣\mid a-b\mid∣a−b∣ 。则简单放缩有：f(x)=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+...f(x)=(\mid x_1 -x\mid+\mid x_n -x\mid)+(\mid x_2 -x\mid+\mid x_{n-1} -x\mid)+...f(x)=(∣x1−x∣+∣xn−x∣)+(∣x2−x∣+∣xn−1−x∣)+... ≥(xn−x1)+(xn−1−x2)...\ge (x_n-x_1)+(x_{n-1}-x_2)...≥(xn−x1)+(xn−1−x2)...等号成立的条件是中位数 xxx 在两点之间，针对所有绝对值不等式等号成立
如果是奇数个商店，则排序后直接取到中位数，数组下标从 0 开始，则为 n−12\frac {n - 1} 22n−1，或者 C++ 除法自动向下取整，则 n2\frac {n} 22n
如果是偶数个商店，排序后取到左中位数与右中位数均可 n−12\frac {n - 1} 22n−1 或者 n2\frac {n} 22n
统一起来就是，n2\frac {n} 22n。千万别写成 n2−1\frac {n} 2 - 12n−1…

中位数公式： min∑in∣A−xi∣min\sum_i^n\mid A-x_i\midmin∑in∣A−xi∣ 则，AAA 为 xix_ixi 的中位数

本题可以拓展为二维求曼哈顿距离可以排序来做，但若是欧几里得距离则是一个经典求费马点的问题，采用的是随机算法，没有一般的优秀求法。

关于这个问题的证明，出了采用绝对值不等式来进行公式证明，还有微扰法可以证明。

将 abs(a[i] - a[n >> 1]) 改为 abs(a[i] - a[i >> 1]) 也可以 AC。可以证明 ∑i=1nai−an2=∑i=1nai−ai2\sum_{i=1}^n a_i-a_\frac n 2=\sum_{i=1}^na_i-a_\frac i 2i=1∑nai−a2n=i=1∑nai−a2i

贴一份来自大佬的证明(奇数情况，偶数情况同理可证)：

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5+5;int n;
int a[N];int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];sort(a, a + n);int res = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) res += abs(a[i] - a[n / 2]);cout << res << endl;return 0;
}

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