诸侯安置简单的递推

诸侯安置

Problem Description
很久以前，有一个强大的帝国，它的国土呈正方形状（转45度看），如图所示。

这个国家有若干诸侯。由于这些诸侯都曾立下赫赫战功，国王准备给他们每人一块封地（正方形中的一格）。但是，这些诸侯又非常好战，当两个诸侯位于同一行或同一列时，他们就会开战。如下图为n=3时的国土，阴影部分表示诸侯所处的位置。前两幅图中的诸侯可以互相攻击，第三幅则不可以。
国王自然不愿意看到他的诸侯们互相开战，致使国家动荡不安。因此，他希望通过合理的安排诸侯所处的位置，使他们两两之间都不能攻击。
现在，给出正方形的边长n，以及需要封地的诸侯数量k，要求你求出所有可能的安置方案数。(n≤100，k≤2n2-2n+1)
由于方案数可能很多，你只需要输出方案数除以504的余数即可。
Input
仅一行，两个整数n和k，中间用一空格隔开。
Output
一个整数，表示方案数除以504的余数。
Sample Input
2 2
Sample Output
4
Tip
四种安置方案如图所示。注意：镜面和旋转的情况属于不同的方案。

观察本题，很显然，我们会发现本题类似于八皇后问题。
当然，这道题跟八皇后问题的很不相同。因为，如果我们从左向右观察，我们会发现，它的宽度从1向2n-1，以2为公差递增，呈等差数列，而后对称。
因此，它的宽度变化是先单调递增，而后单调递减的。
如果我们只看一半，我们可以发现，如果对于前i列，它们的宽度为2i-1，那么如果我们已知这样一个函数f[i][j]，表示前i列有j个诸侯的可能数，通过之前的规律我们知道，新的一列i+1，诸侯可以出现的地方有2i-1-j。
因此，就有递推方程f[i][j]=f[i-1][j-1]*(2i-1-j)
但是，如果前面的这一列，也就是 i-1 列没有诸侯，我们怎么处理呢，那么，我们就可以得到一个让之前的 i-1 变化一下，变成 f[i][j]=∑f[i-k][j-1] (1≤k≤i-1)
这样，我们就可以明确f[i][j]的含义，是在第i列存在诸侯，前i列有j个诸侯的可能数。
这样，我们就可以完整的记录所有的情况了。
因为f[i][j] 与 f[i-1][j]它们所包含的情况必然是不存在交集的。
所以，我们的思路可以朝着这个方向进行。
但是，问题在于，题目描述中，领土是先递增，后减少，不能够用这个函数来完整描述。
不过，我们想一想。对于一个诸侯来说，与它在同一行不能存在其他诸侯，与它在同一列不能存在其他诸侯。
但是，如果我们将这一列与另一列调换，保证不生成新的行（也就是说，调换后所有各自仍然连在一起，不能因为列的改变导致一行出现中间隔断的情况）最简单的调换方法就是，将列的宽度进行排序，这样就可以直接得到一个宽度递增的一个图形。
如图所示：
并且，我们可以知道，对于这个图形来说，它相同宽度的列只有两个（除最大宽度列），那么，我们就可以通过刚才推到的递推式，再根据它的限制，列的宽度限制，进行递推，就可以得到答案了。
代码如下。

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;int f[210][2000];
int n,k,ans,p;int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);f[0][0]=1;if (k+1<=2*n){for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=((i<n)?2:1);j++){++p;for (int c=1;c<=min(p,k);c++)for (int r=0;r<p;r++)(f[p][c]+=f[r][c-1]*(i*2-c))%=504;}for (int i=0;i<=p;i++)ans+=f[i][k];ans%=504;}printf("%d",ans);return 0;
}