TSOJ 好好做题(屑)——递推状态压缩+高精度

文章目录

题目描述
解题思路
喜闻乐见的AC代码
补充一：高精度
补充二：状态压缩
完整注释代码
后记

题目描述

选修程序设计和算法课程的学生人数为 n，任课老师设置了 m 道练习题目(其中：1 <= m,n <= 100)，假定每道题的难度和知识点都是一样的，要求选修本课程的同学利用在线测评系统完成一道题目，同时还要求每道题目至少要被做过一次，问有多少种做题方案？当然也有可能没有一种方案存在。

输入描述

多组输入，每一行输入两个用一个空格分开的整数 n 和 m

输出描述

占一行，对应输入的每组数，输出对应的方案数

样例

4 2
15 12

7
106470

解题思路

粗略描述一下这道屑题

本题的表达比较反人类，它是说把n个不同的物件放入m个相同的篮子，并且要求篮子不能为空。
（关键句是“每道题难度和知识点都是一样的”-_-|||）

从高中正常毕业的学生的想法

（如果你已经通过百度了解“第二类斯特林公式”，请跳过这个屑过程）
利用高中组合数知识解说一下样例：
样例一:
4个物品放入2个篮子，可以3+1分或2+2分，因此我们的answer为:

样例二：
15个物品放入12个篮子有三种分法，
4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
3+2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
2+2+2+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
因此answer’为：

（看不懂为什么除以2！或3！的可以退学了 [x）
那么问题来了，实现这样的思考过程十分麻烦，而且计算机执行起来效率也不高，不符合“计算机的思维”。

符合计算机思维的思路

我们知道组合数是可以递推出来的，实际上这道屑题也存在这样的状态转移。
对于n个物品和m个篮子，可以这么考虑答案组成；
1.来自n-1个物品m-1个篮子。
相当于在这种状态下加上一个装有第n个物品的篮子；
2.来自n-1个物品m个篮子。
添加第n个物品，这个物品有m种选择，它可以放在这m个篮子里任意一个中
(思考一下m种方案是否和m个相同的篮子矛盾？为什么？）

由此得出一个简单的递推式:

如果m=1或m=n时，answer=1；
如果n>m时，answer=0；

喜闻乐见的AC代码

这样就能AC了？

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
int main()
{int i,j,n,m,k,flag;int ans[121][101];while(~scanf("%d %d",&n,&m)){memset(ans,0,sizeof(ans));for(i=1;i<=n;++i){ans[1][1]=1;for(j=min(i-1,m);j>=1&&n-i>=m-j;--j){for(k=1;k<=120;++k)ans[k][j]=ans[k][j-1]+j*ans[k][j];for(k=1;k<=120;++k)if(ans[k][j]>=10){       ans[k+1][j]+=ans[k][j]/10;ans[k][j]%=10;}}ans[1][i]=1;}flag=120;for(k=120;k>=0;--k)if(ans[k][m]!=0){flag=k;break;}if(flag==120)flag=1;for(k=flag;k>=1;--k)printf("%d",ans[k][m]);printf("\n");}return 0;
}

是不是感觉代码和说好的思路有点出入。

补充一：高精度

——补充一高精度——
事实证明，我们输入100 50时，数据是很大的，如果不用高精度，妥妥的超出范围。

——高精度的实质就是用数组暴力模拟竖式计算
比如我们计算两个100位数a和b的乘积，可以用字符串读取a和b，然后把用b数组中的最后一位乘以a中的每一位数保存入数组ans的对应位置，并做好进位工作。依次循环，直到b的第一位数乘完数组a中每一个元素。
以下几种高精度参考：
——高精度加法：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int ans[510];//保存答案
char a[510],b[510];//读入数据
int a1[510],b1[510];//转为整型数组保存
int main()
{int i,flag,l1,l2,j;while(~scanf("%s %s",a,b)){memset(ans,0,sizeof(ans));memset(a1,0,sizeof(a1));memset(b1,0,sizeof(b1));//*************************//j=0; for(i=strlen(a)-1;i>=0;--i)a1[j++]=a[i]-'0';j=0;                       //分别把字符串a和字符串b中的每一个元素逆序装入整型数组a1和b1中 for(i=strlen(b)-1;i>=0;--i)b1[j++]=b[i]-'0';//*************************//for(i=0;i<510;++i){ans[i]+=a1[i]+b1[i];if(ans[i]>=10){                      //逐位做加法并进位 ans[i+1]+=ans[i]/10;ans[i]%=10;}}//*************************// flag=509;for(i=509;i>=0;--i)if(ans[i]!=0){flag=i;           //找到最高位元素的位置，记录以用于接下来输出答案 break;}//************************//if(flag==509){printf("0\n");}else{for(i=flag;i>=0;--i)printf("%d",ans[i]);printf("\n");}}return 0;
}

——高精度乘法：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[101],b[101];//读入数据
long long ans[302];//答案数据
int main()
{int i,j,la,lb,k,flag;while(~scanf("%s\n%s",&a,&b)){la=strlen(a);lb=strlen(b);memset(ans,0,sizeof(ans));//************************************************// for(i=la-1;i>=0;--i){for(j=lb-1;j>=0;--j)ans[la-1-i+lb-j-1]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');for(k=la-i-1;k<=la-i-1+lb-1;++k)if(ans[k]>=10)                            //倒过来从最小的位数开始乘，加到对应位置上，并且进行一次进位 {                                         //实际上一次性进位+找到最高位更快，但这么写更符合人类的正常思维 ans[k+1]+=ans[k]/10;ans[k]%=10;}}//************************************************//for(i=301;i>=0;--i)if(ans[i]!=0){flag=i;                                     //找最高位 break;}//************************************************// for(i=flag;i>=0;--i)printf("%lld",ans[i]);printf("\n");}
}

本题中利用高精度计算的代码段：

for(j=min(i-1,m);j>=1&&n-i>=m-j;--j)
{for(k=1;k<=120;++k)ans[k][j]=ans[k][j-1]+j*ans[k][j];for(k=1;k<=120;++k)if(ans[k][j]>=10){     ans[k+1][j]+=ans[k][j]/10;ans[k][j]%=10;}
}

补充二：状态压缩

——补充二状态压缩——
注意本题只有8MB空间限制，开一个100 * 100 * 100的数组保存每一行每一列的高精度数有够呛的。
事实上，我们没必要一定要存储之前的数据，毕竟我们的递推式只涉及到n和n-1这两行，前面的数据完全可以舍弃。

假设现在正在用k递推k+1，由之前的递推式可知状态转移是从(k,m-1)+m*(k,m) 到(k+1,m)，我们完全可以只开一维的高精数组(即100 * 100），把每一次计算出来的(k+1,m)取代掉上一行同位置的(k,m)，也就是说我们的这个一维高精度数组保存的数据由第k+1行覆盖掉第k行。

如何覆盖？
如果仍旧以人类的思维，从第一个数据开始覆盖是会出错的。

但是从最后一个数据开始覆盖就不会出错：

状态压缩其实还有另外一层意义
从后面开始覆盖，意味着有些数据我们用不着计算了，毕竟答案只是一个点而已。

完整注释代码

以下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
int main()
{int i,j,n,m,k,flag;int ans[121][101];//一维高精度数组，只记录某一行的状态 while(~scanf("%d %d",&n,&m)){memset(ans,0,sizeof(ans));for(i=1;i<=n;++i){ans[1][1]=1;//对无法状态转移的数据初始化 for(j=min(i-1,m);j>=1&&n-i>=m-j;--j)//限制计算域 {//**********************************************// for(k=1;k<=120;++k)ans[k][j]=ans[k][j-1]+j*ans[k][j];for(k=1;k<=120;++k)if(ans[k][j]>=10)                       //高精度计算 {      ans[k+1][j]+=ans[k][j]/10;ans[k][j]%=10;}//**********************************************//}ans[1][i]=1;//对无法状态转移的数据初始化 }flag=120;for(i=120;i>=0;--i)if(ans[i][m]!=0)                                //找到最高位 {flag=i;break;}//**********************************************//if(flag==120)flag=1;for(i=flag;i>=1;--i)printf("%d",ans[i][m]);printf("\n");}return 0;
}

本代码占空间1.51MB，耗时0MS

后记

这个屑题本身不是很难，主要是有一些小优化值得记录一下。
水得题解++;
2018年12月26日