【数理逻辑与集合论】第一章命题逻辑

这里只是自己对知识点的一个概述和理解，追求的是精简。

一、命题逻辑基本概念

1.命题：陈述句+真假性是肯定的。注意：悖论不是命题
2.原子命题符号化和联结词符号化：

否定
合取（与）
析取（或）
蕴涵（只有1推出0才是0）
等价（相同则为1）

3.合式公式（wff）
又称命题公式
将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式或命题公式。

4.公式层次
若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式。
每用一次联结词，层次加1。

5.重言式、永假式、可满足式
重言式=永真式，公式A怎么赋值最后都是真
矛盾式=永假式，公式A怎么赋值最后都是假
若公式A不是矛盾式，则称A是可满足式。

6.列真值表方法：

所有式子赋值
从低层往高层
最后一列判断

7.哑元
哑元是一种命题变项。
假设公式A、B中含有很多个命题变项，而A
或B不全含这些命题变项，比如B不含pi、pi+1…，这些命题变项就是B的哑元。

B的哑元就是 A并B 与 A 的差集。（灰色部分）

二、命题逻辑等值演算

1.等值的定义

等价式在两个公式全部相同的时候为真，重言式要求结果都是真，也就意味着两个公式的值都是一样的，所以通俗地来讲，等值式其实就是当给两个式子赋相同的值时，两个式子输出的值相同。
2.基本等值式

7解释：把V看作是max(),^看作是min()。吸收律是很重要的思想。

8零率就是毫无作为，为零，为空，一场空，比如和1做并，和0做交，鱼儿爱上了鸟儿，都是一场空。

9同一律就是足够强，永远不改变自己，和0做并，和1做交，永远还是自己。

10排中律就是我和非我构成了这个世界。

11矛盾律就是我和非我势不两立。

12可以这样记忆：A→B只有左1右0时为0，而V只有两边都为0才为0，所以刚好可以。

13等价的话意味着左边可以推到右边，右边也是如此。

14逆否命题

16A推到B，A也能推出非B，所以A是非A。

三、析取范式和合取范式

几个简单合取式的析取式叫析取范式
几个简单析取式的合取式叫合取范式

命题变项和它的否定式不同时出现的简单合取式——极小项
命题变项和它的否定式不同时出现的简单析取式——极大项

一个析取范式的简单合取式都是极小项，那它就是主析取范式。
一个合取范式的简单析取式都是极大项，那它就是主合取范式。

如果一个公式能写成完整的主析取范式的形式，则该公式是重言式，写出来的不完整就是可满足式，一点都写不出来就是矛盾式。

三、命题逻辑的推理理论

主要任务：用数学的方法来研究数学中的推理。
推理的真假和蕴涵的思路一致。

1.A一定能推出来AorB。

2.AandB一定能推出来A。

3.和4.用 A→B = ~AvB 这个式子

A⇒B，只要A是B的一部分就够了。

6.和7.好理解，传递性

8.和9.死记硬背