定义1-4。1在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

现举例说明如下：

例题1 构造┓p∨q的真值表。

解

表1-4.1

p q ┓p ┓p∨q

t t f t

t f f f

f t t t

f f t t

例题2 给出(p∧q)∧┓p的真值表。

解

表1-4.2

p q p∧q ┓p (p∧q)∧┓p

t t t f f

t f f f f

f t f t f

f f f t f

例题3 给出(p∧q)∨(┓p∧┓q)的真值表。

解

表1-4.3

p q ┓p ┓q p∧q ┓p∧┓q (p∧q)∨(┓p∧┓q)

t t f f t f t

t f f t f f f

f t t f f f f

f f t t f t t

例题4给出┓(p∧q)«(┓p∨┓q)的真值表。

解

表1-4.4

p q p∧q ┓(p∧q) ┓p ┓q ┓p∨┓q ┓(p∧q)«(┓p∨┓q)

t t t f f f f t

t f f t f t t t

f t f t t f t t

f f f t t t t t

由表1-4.4(表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这类公式记为t(f)。

在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于分量的个数。例如，由2个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值，由8个命题变元组成的命题公式共有八种可能的真值。一般说来，n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。

从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┓p∨q与p→q的对应真值相同，如表1-4.5所示。

表1-4.5

p q ┓p∨q p→q

t t t t

t t f f

f t t t

f f t t

同理(p∧q)∨(┓p∧┓q)与p«q对应的真值相同，如表1-4.6所表示。

表1-4.6

p q p«q (p∧q)∨(┓p∧┓q)

t t t t

t f f f

f t f f

f f t t

定义1-4.2给定两个命题公式a和b，设p1，p2，…，pn为所有出现于a和b中的原子变元，若给p1，p2，…，pn任一组真值指派，a和b的真值都相同，则称a和b是等价的或逻辑相等。记作aûb.

例题5 证明p«qû(p→q)∧(q→p)

证明列出真值表

表1-4.7

p q p→q q→p p«q (p→q)∧(q→p)

t t t t t t

t f f t f f

f t t f f f

f f t t t t

由表1-4.7可知p«q与(p→q)∧(q→p)真值相同，命题得证。

表1-4.8列出的命题定律，都可以用真值表予以验证。

表1-4。8

对合律 ┓┓pûp 1

冥等律 p∨pûp, p∧pûp 2

结合律 (p∨q)∨rûp∨(q∨p)

(p∧q)∧rûp∧(q∧p) 3

交换律 p∨qûq∨p

p∧qûq∧p 4

分配律 p∨(q∧r) û(p∨q)∧(p∨r)

p∧(q∨r) û(p∧q)∨(p∧r) 5

吸收律 p∨(p∧q) ûp

p∧(p∨q) ûp 6

德·摩托律 ┓(p∨q)û┓p∧┓q

┓(p∧q)û┓p∨┓q 7

同一律 p∨fûp, p∧tûp 8

零律 p∨tût, p∧fûf 9

否定律 p∨┓pût, p∧┓pûf 10

例题6验证吸收律  p∨(p∧q)ûp

p∧(p∨q)ûp

证明列出真值表

表1-4.9

p q (p∧q) p∨(p∧q) (p∨q) p∧(p∨q)

t t t t t t

t f f t t t

f t f f t f

f f f f f f

由表1-4.9可知吸收律成立。

在一个命题公式中，如果用公式置换命题的某个部分，一般地将会产生某种新的公式，例如q→(p∨(p∧q))中以(┓p→q)取代(p∧q)，则q→(p∨(┓p→q))就与原式不同。为了保证取代后的公式与原始公式是等价的，故需对置换作出一些规定。

定义1-4.3如果x是合式公式a的一部分，且x本身也是一个合式公式，则称x为公式a的子公式。

定理1-4.1设x是合式公式a的子公式，若xûy，如果将a中的x用y来置换，所得到公式b与公式a等价，即aûb。

证明 因为在相应变元的任一种指派情况下，x与y的真值相同，故以y取代x后，公式b与公式a在相应的指派情况下，其真值亦必相同，故aûb。

满足定理1-4。1条件的置换称为等价置换(等价代换)。

例题7 证明q→(p∨(p∧q))ûq→p

证明 设a：q→(p∨(p∧q))

因为p∨(p∧q)ûp

故b：q→p，即aûb

对aûb亦可用表1-4.10予以验证：

表1-4.10

p q p∧q p∨(p∧q) q→(p∨(p∧q)) q→p

t t t t t t

t f f t t t

f t f f f f

f f f f t t

我们有了最基本的命题公式的等价关系，再利用定理1-4.1就可以推理一些更为复杂的命题等价公式。现举例说明如下：

例题8 证明(p∧q)∨(p∧┓q)ûp

证明 (p∧q)∨(p∧┓q) ûp∧(q∨┓q)ûp∧tûp

例题9 证明ｐ→(q→ｒ)ûｑ→(ｐ→ｒ)û┓ｒ→(ｑ→┓ｐ)

证明ｐ→(q→ｒ)û┓ｐ∨(┓q∨r) û┓q∨(┓p∨r) ûq→(ｐ→r)

又 ｐ→(q→ｒ)û┓ｐ∨(┓q∨r) ûr∨(┓q∨┓p) û┓r→(q→┓ｐ)

例题10证明((p∧q)∧┓(┓p∧(┓q∨┓r)))∨(┓p∧┓q)∨(┓p∨┓r)ût

证明 原式左边û((p∧q)∧┓(┓p∧(q∨r)))

∨(p∧q)∨┓(p∧r)û((p∧q)∧(p∨(q∨r))∨┓(p∧q)∨┓(p∧r)û((p∧q)∧(p∨q)∧(p∧r)))∨┓((p∧q)∧(p∧r))û((p∧q)∧(p∧r))∨┓((p∧q)∧(p∧r))ût