第一章 命题逻辑（数理逻辑）
文章目录
- 第一章 命题逻辑
- 1.1 命题与逻辑联结词 Propositional Logic
- 1.2 命题公式及其赋值 Application of Propositional Logic
- 1.3 命题公式的等价 Propositional Equivalences
- 1.4 联结词的完备集
- 1.5 命题公式的范式表示
- 1.6 命题公式的蕴涵
- 1.7 命题逻辑的推理方法
第一章 命题逻辑
1.1 命题与逻辑联结词 Propositional Logic
命题定义：
- 陈述句 Declaration Sentence
- True or false, Not Both
注意：疑问句×\times×，祈使句×\times×，无法判断对错×\times×（1+1=2×1+1=2\times1+1=2×无法判断十进制还是二进制？？？），主观感受×\times×，若有上下文可判断对错。
命题变量 Propositional variables：p,q,r,sp,q,r,sp,q,r,s
关系命题 Compound Propositional：
- 非，否 lnotation：¬p\lnot p¬p
- 合取 Conjunction：p∧qp\land qp∧q （andandand，并且）
- 析取 Disjunction，容斥合 Inclusive Or：p∨qp\lor qp∨q （ororor，或）
- 排斥合 Exclusive Or：p⊕qp\oplus qp⊕q （xorxorxor，异或）
条件联结词 Implication/ Conditional Statement：
- 单条件：p(条件)→q(结论)p(条件)\rightarrow q(结论)p(条件)→q(结论) . （韦恩图中p−q‾\color{red}\overline{p-q}p−q）
- 双条件 Biconditional：p⟷qp \longleftrightarrow qp⟷q （韦恩图中(p⋂q)⋃(p⋃q)‾\color{red}(p\bigcap q)\bigcup \overline{(p\bigcup q)}(p⋂q)⋃(p⋃q)）（=if and only if 当且仅当 = necessary and sufficient 充分必要条件 = 反之亦然）⟺¬(p⊕q)\iff \neg(p\oplus q)⟺¬(p⊕q)
p q p→qp\rightarrow qp→q p⟷qp \longleftrightarrow qp⟷q T T T T T F F\color{red}FF F\color{red}FF F T T F\color{red}FF F F T T 注意：p,qp,qp,q之间不需要有关，p→qp\rightarrow qp→q 仅确定形式，不确定内容
记忆：p 代表人诚实，q 代表话对错，p→qp\rightarrow qp→q 代表推理看法
Different Ways of Expressing p→qp\rightarrow qp→q pq if p, then q 11 if p, q 11 Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star：q unless ¬\lnot¬ p （q 为真除非 ¬\lnot¬p 为假）（unless 记为 if not） 11 q if p 11 q whenever p 01,11 q follows from p 11,00 p implies q 11,00 Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star：p only if q （p 为真仅当 q 为真） 11 q when p 11 p is sufficient for q / q is necessary for p / 必要条件 Necessary Condition，充分条件 Sufficient Condition
- p→qp\rightarrow qp→q 逆命题 Converse：p→qp\rightarrow qp→q
- p→qp\rightarrow qp→q 逆反命题 Contrapositive：¬q→¬p\lnot q\rightarrow \lnot p¬q→¬p
- p→qp\rightarrow qp→q 反命题 Inverse：¬p→¬q\lnot p\rightarrow \lnot q¬p→¬q
- 举例：p 表示不下雨，q 表示去逛街
- p→qp\rightarrow qp→q：不下雨，就去逛街
- 逆命题 p→qp\rightarrow qp→q：去逛街，就（一定是因为）不下雨
- 逆反命题 ¬q→¬p\lnot q\rightarrow \lnot p¬q→¬p：不逛街，就是（因为）下雨（了）
- 反命题 ¬p→¬q\lnot p\rightarrow \lnot q¬p→¬q：下雨，就不去逛街
复合命题的真值表 Truth table for Compound Propositions:
- 等价命题 Equivalent Propositons：有相同的真值表
- 逆反命题与原命题等价
- 逆命题与反命题等价
p q ¬\lnot¬p ¬\lnot¬q 原命题 p→qp\rightarrow qp→q 逆命题 q→pq\rightarrow pq→p 逆反命题 ¬q→¬p\lnot q\rightarrow \lnot p¬q→¬p 反命题 ¬p→¬q\lnot p\rightarrow \lnot q¬p→¬q T T F F T T T T T F F T F\color{red}FF T F\color{red}FF T F T T F T F\color{red}FF T F\color{red}FF F F T T T T T T - 行数：n 个变量的真值表有 2n2^n2n 行
- 既然一个命题 n 个变量有2n2^n2n种情况，那 n 个变量的2n2^n2n种结果可构成22n2^{2^n}22n种不同真值表。
- 等价命题 Equivalent Propositons：有相同的真值表
优先级 Precedence：若没有括号，¬\lnot¬ 最高，其余优先级相同，从左向右读取。
位运算 Bit Operations：按位（bitwise）计算
1.2 命题公式及其赋值 Application of Propositional Logic
自然语言符号化 Translating：
- 找到原子(不可再分)命题 atomic propositional
- 确定合适的关系，注意格式
例：“You cannot ride the roller coaster(过山车) if you are under 4 feet tall unless you are older than 16 years old.”
解：
p：“You can ride the roller coaster”q：“You are under 4 feet tall”r：“You are older than 16 years old”.(q∧¬r)→¬p.p：“\text{You can ride the roller coaster}” \\q：“\text{You are under 4 feet tall}” \\r：“\text{You are older than 16 years old}”. \\ \color{red}(q\land \lnot r)\rightarrow \lnot p. p：“You can ride the roller coaster”q：“You are under 4 feet tall”r：“You are older than 16 years old”.(q∧¬r)→¬p.系统规范说明 System Specificatons：
- 一致性 Consistent：不能前后矛盾
例：$(1)p\lor q;(2)\lnot p;(3)p\rightarrow q;(4)\lnot q $
解：(4)×(4)\color{red}\times(4)×
解释：若一致，要找到一种变量的可能情况，使命题均满足
Logic Puzzles
Logic Circuits
1.3 命题公式的等价 Propositional Equivalences
- 定义1：
- 永真式(重言式) Tautology：例 p∨¬pp\lor \lnot pp∨¬p
- 永假式(矛盾式) Contradiction：例 p∧¬pp\land \lnot pp∧¬p
- 可满足式(可能式) Contingency：例 ppp
| p | ¬\lnot¬p | p∨¬pp\lor \lnot pp∨¬p | p∧¬pp\land \lnot pp∧¬p |
|---|---|---|---|
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
定理1.3：p↔qp\leftrightarrow qp↔q为永真式(Tautology)⟺\iff⟺两个复合命题逻辑等价(Equivalent)，真值表相同。记为 p⟺qp\iff qp⟺q 或 p≡qp\equiv qp≡q。
证明：充分性，必要性（运用了永真式，等价，双条件的定义）
注意⟺\iff⟺ 与 ⟷\longleftrightarrow⟷ 的区别：
⟷\longleftrightarrow⟷ ⟺\iff⟺ **双条件词(**逻辑连结词) **逻辑等价(**等价关系) p⟷qp\longleftrightarrow qp⟷q 是命题公式 p⟺qp\iff qp⟺q 不是命题公式 常见等价命题：
| 名称 | 等式 | 等式 |
|---|---|---|
| 同一律 Identity laws | E13:p∨T⟺pE_{13}:\;p\lor T\iff pE13:p∨T⟺p | E14:p∧F⟺pE_{14}:\;p\land F\iff pE14:p∧F⟺p |
| 零律 Dominaton laws | E15:p∨F⟺FE_{15}:\;p\lor F\iff FE15:p∨F⟺F | E16:p∧T⟺TE_{16}:\;p\land T\iff TE16:p∧T⟺T |
| 幂等律 Idempotent laws | E3:p∨p⟺pE_3:\;p\lor p\iff pE3:p∨p⟺p | E4:p∧p⟺pE_4:\;p\land p\iff pE4:p∧p⟺p |
| 双重否定律 Double lnotation laws | E19:¬(¬p)⟺pE_{19}:\;\lnot(\lnot p)\iff pE19:¬(¬p)⟺p | p⟺¬(¬p)p\iff \lnot(\lnot p)p⟺¬(¬p) |
| 交换律 Commutative laws | E5:p∨q⟺q∨pE_5:\;p\lor q\iff q\lor pE5:p∨q⟺q∨p | E6:p∧q⟺q∧pE_6:\;p\land q\iff q\land pE6:p∧q⟺q∧p |
| 结合律 Associative laws | E7:(p∨q)∨r⟺p∨(q∨r)E_7:\;(p\lor q)\lor r\iff p\lor (q\lor r)E7:(p∨q)∨r⟺p∨(q∨r) | E8:(p∧q)∧r⟺p∧(q∧r)E_8:\;(p\land q)\land r\iff p\land (q\land r)E8:(p∧q)∧r⟺p∧(q∧r) |
| Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star：分配律 Distributive laws | E11:p∨(q∧r)⟺(p∨q)∧(p∨r)E_{11}:\;p\lor (q\land r)\iff (p\lor q)\land (p\lor r)E11:p∨(q∧r)⟺(p∨q)∧(p∨r) | E12:p∧(q∨r)⟺(p∧q)∨(p∧r)E_{12}:\;p\land (q\lor r)\iff (p\land q)\lor (p\land r)E12:p∧(q∨r)⟺(p∧q)∨(p∧r) |
| 德摩根定律 De Morgan’s laws | E23:¬(p∨q)⟺¬p∧¬qE_{23}:\;\lnot(p\lor q)\iff \lnot p\land \lnot qE23:¬(p∨q)⟺¬p∧¬q | E24:¬(p∧q)⟺¬p∨¬qE_{24}:\;\lnot(p\land q)\iff \lnot p\lor \lnot qE24:¬(p∧q)⟺¬p∨¬q |
| 吸收律 Absorption laws | E9:(p∨(p∧q)⟺pE_9:\;(p\lor (p\land q)\iff pE9:(p∨(p∧q)⟺p | E10:(p∧(p∨q)⟺pE_{10}:\;(p\land (p\lor q)\iff pE10:(p∧(p∨q)⟺p |
| 矛盾律 lnotation laws | E17:p∨¬p⟺TE_{17}:\;p\lor \lnot p\iff TE17:p∨¬p⟺T | E18:p∧¬p⟺FE_{18}:\;p\land \lnot p\iff FE18:p∧¬p⟺F |
| 输出律 | E20:(G∧H)→S⟺G→(H→S)E_{20}:(G\land H)\rightarrow S\iff G\rightarrow(H\rightarrow S)E20:(G∧H)→S⟺G→(H→S) | / |
| 排中律 | E21:(G∨H)⟺(¬G∧H)∨(G∧¬H)E_{21}:(G\lor H)\iff (\neg G\land H)\lor(G\land \neg H)E21:(G∨H)⟺(¬G∧H)∨(G∧¬H) | / |
| 逆反律 | E22:P→Q⟺¬Q→¬PE_{22}:P\rightarrow Q\iff\neg Q\rightarrow \neg PE22:P→Q⟺¬Q→¬P | / |
- 必背等式：
| StarE2{\color{white}\colorbox{red}{Star}}\;E_2\;StarE2：p→q⟺¬p∨qp\rightarrow q\iff\lnot p\lor qp→q⟺¬p∨q | E1:p↔q⟺(p→q)∧(q→p)E_1:\;p \leftrightarrow q\iff (p\rightarrow q)\land(q\rightarrow p)E1:p↔q⟺(p→q)∧(q→p) |
|---|---|
| (p→q)∧(p→r)⟺p→(q∧r)(p\rightarrow q)\land(p\rightarrow r)\iff p\rightarrow(q\land r)(p→q)∧(p→r)⟺p→(q∧r) | (p→q)∨(p→r)⟺p→(q∨r)(p\rightarrow q)\lor(p\rightarrow r)\iff p\rightarrow(q\lor r)(p→q)∨(p→r)⟺p→(q∨r) |
| (p→r)∧(q→r)⟺(p∨q)→r(p\rightarrow r)\land(q\rightarrow r)\iff (p\lor q)\rightarrow r(p→r)∧(q→r)⟺(p∨q)→r | (p→r)∨(q→r)⟺(p∧q)→r(p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r)\iff (p\land q)\rightarrow r(p→r)∨(q→r)⟺(p∧q)→r |
记忆：一指多不变（号），多指一变（号）
1.4 联结词的完备集
- 其他联结词：
- 与非：
- 或非：
- 条件否定：
- 联结词的内在联系：
- 功能完备集：
- 最小功能完备集：
1.5 命题公式的范式表示
1.6 命题公式的蕴涵
定义1.18：若 AAA 为真时 BBB 也为真（AAA 为假时不考虑），则称**AAA蕴含BBB**，并记为A⇒BA\Rightarrow BA⇒B.（韦恩图中A⊃B\color{red}A\supset BA⊃B）
定理1.11：(A⟹B)⟺(A⟶B(A\Longrightarrow B)\iff (A\longrightarrow B(A⟹B)⟺(A⟶B 为永真式）
注意⟹\Longrightarrow⟹ 与 ⟶\longrightarrow⟶ 的区别：
⟶\longrightarrow⟶ ⟹\Longrightarrow⟹ 命题联结词 公式间关系符 A⟶BA\longrightarrow BA⟶B 是命题公式 A⟹BA\Longrightarrow BA⟹B 不是命题公式，仅表示蕴含关系 性质：
自反性：A⟹AA\Longrightarrow AA⟹A
反对称性：若A⟹BA\Longrightarrow BA⟹B 且 B⟹AB\Longrightarrow AB⟹A，则有A⟺BA\Longleftrightarrow BA⟺B
A⟹BA\Longrightarrow BA⟹B 且 AAA 为永真式，则 BBB 必为永真式
传递性：若A⟹BA\Longrightarrow BA⟹B 且 B⟹CB\Longrightarrow CB⟹C，则有A⟹CA\Longrightarrow CA⟹C
Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star：若A⟹BA\Longrightarrow BA⟹B 且 A⟹CA\Longrightarrow CA⟹C，则有A⟹B∧CA\Longrightarrow B\land CA⟹B∧C，反之亦然
Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star：若A⟹CA\Longrightarrow CA⟹C 且 B⟹CB\Longrightarrow CB⟹C，则有A∨B⟹CA\lor B\Longrightarrow CA∨B⟹C，反之亦然
证明：
A⟹C且B⟹C(A→C)∧(B→C)是永真式(A∨B)→C是永真式A∨B⟹C\begin{aligned} &A\Longrightarrow C且B\Longrightarrow C \\ &(A\rightarrow C)\land(B\rightarrow C)是永真式 \\&(A\lor B)\rightarrow C是永真式 \\&A\lor B\Longrightarrow C \end{aligned} A⟹C且B⟹C(A→C)∧(B→C)是永真式(A∨B)→C是永真式A∨B⟹CCPCPCP规则基础：A∧B⟹CA\land B\Longrightarrow CA∧B⟹C 当且仅当 A⟹B→CA\Longrightarrow B\rightarrow CA⟹B→C
反证法基础：(A⟹B)⟺(A∧¬B)(A\Longrightarrow B)\iff (A\land\neg B)(A⟹B)⟺(A∧¬B) 是矛盾式
逆向思维基础：(A⟹B)⟺(¬B⟹¬A)(A\Longrightarrow B)\iff (\neg B\Longrightarrow \neg A)(A⟹B)⟺(¬B⟹¬A)
蕴含定律(基本关系式)：
- Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star 扩充法则(析取引入律) I1I_1I1：P⟹P∨QP\Longrightarrow P\lor QP⟹P∨Q，Q⟹P∨QQ\Longrightarrow P\lor QQ⟹P∨Q，¬P⟹P→Q\neg P\Longrightarrow P\rightarrow Q¬P⟹P→Q，Q⟹P→QQ\Longrightarrow P\rightarrow QQ⟹P→Q
- Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star 化简法则(合取消去律) I2I_2I2：P∧Q⟹PP\land Q\Longrightarrow PP∧Q⟹P，P∧Q⟹QP\land Q\Longrightarrow QP∧Q⟹Q，¬(P→Q)⟹P\neg(P\rightarrow Q)\Longrightarrow P¬(P→Q)⟹P，P→Q⟹QP\rightarrow Q\Longrightarrow QP→Q⟹Q
- Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star 假言推论(分离规则) I3I_3I3：P∧(P→Q)⟹QP\land(P\rightarrow Q)\Longrightarrow QP∧(P→Q)⟹Q
- 否定式假言推论(拒取式) I4I_4I4：¬Q∧(P→Q)⟹¬P\neg Q\land(P\rightarrow Q)\Longrightarrow \neg P¬Q∧(P→Q)⟹¬P
- 析取三段论(选言三段论) I5I_5I5：¬P∧(P∨Q)⟹Q\neg P\land(P\lor Q)\Longrightarrow Q¬P∧(P∨Q)⟹Q
- Star\color{white}\colorbox{red}{Star}Star 假言三段论(前提条件) I6I_6I6：(P→Q)∧(Q→R)⟹(P→R)(P\rightarrow Q)\land(Q\rightarrow R)\Longrightarrow (P\rightarrow R)(P→Q)∧(Q→R)⟹(P→R)
- 二难推论 I7I_7I7：(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⟹R(P\lor Q)\land(P\rightarrow R)\land(Q\rightarrow R) \Longrightarrow R(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⟹R
- I8I_8I8：(P→Q)∧(R→S)⟹(P∧R)→(Q∧S)(P\rightarrow Q)\land(R\rightarrow S)\Longrightarrow (P\land R)\rightarrow (Q\land S)(P→Q)∧(R→S)⟹(P∧R)→(Q∧S)
- I9I_9I9：(P↔Q)∧(Q↔R)⟹(P↔R)(P\leftrightarrow Q)\land(Q\leftrightarrow R)\Longrightarrow (P\leftrightarrow R)(P↔Q)∧(Q↔R)⟹(P↔R)
- 归结原理 I10I_{10}I10：(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R)(P\lor Q)\land(\neg P\lor R)\Longrightarrow (Q\lor R)(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R)
1.7 命题逻辑的推理方法
演绎/形式证明：依据推理规则从一些前提中推导出一个结论
- 定义1.19：若 G1∧G2∧...∧Gn⟹HG_1\land G_2\land...\land G_n\Longrightarrow HG1∧G2∧...∧Gn⟹H，称 HHH 是前提 G1,G2,...,GnG_1,G_2,...,G_nG1,G2,...,Gn 的逻辑结果/有效结论。
- 定理：HHH 是 G={G1,G2,...,Gn}G=\{G_1,G_2,...,G_n\}G={G1,G2,...,Gn} 的逻辑结果 ⟺G1∧G2∧...∧Gn⟶H\iff G_1\land G_2\land...\land G_n\longrightarrow H⟺G1∧G2∧...∧Gn⟶H 为永真式。
- 注意：结论的真实性与推理的有效性无关。若前提为真，有效结论才为真。
推理规则：
- PPP 规则(前提引用规则)：引入前提集合中任一前提
- TTT 规则(逻辑结果引用规则)：利用基本等价式和蕴涵式将中间公式变出新公式。若依据等价式，标明为 TETETE；若依据蕴涵式，标明为 TITITI。
- CPCPCP 规则(附加前提规则)：若目标结果形如 P⟶QP\longrightarrow QP⟶Q，则将 PPP 作为附加前提。
推理方法：
真值表法：构造G1∧G2∧...∧Gn⟶HG_1\land G_2\land...\land G_n\longrightarrow HG1∧G2∧...∧Gn⟶H 的真值表，判断是否为永真式。但命题变元数量多时，实用难度大。
演绎法：从前提出发，依据推理规则，导出结论。
直接证明法：利用 PPP 规则和 TTT 规则
例题\color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题}例题：求证 I7:I_7:I7: S∨RS\lor RS∨R 是前提 {P∨Q,P→R,Q→R}\{P\lor Q,P\rightarrow R,Q\rightarrow R\}{P∨Q,P→R,Q→R} 的有效结论。
证明：
(1)P∨QP(2)¬P→QT,(1),E2(3)Q→SP(4)¬P→ST,(2),(3),I6(5)¬S→PT,(4),E22(6)P→RP(7)¬S→RT,(5),(6),I6(8)S∨RT,(7),E2∴{P∨Q,P→R,Q→R}⟹S∨R\begin{aligned} &(1)&&P\lor Q &&P\\ &(2)&&\neg P\rightarrow Q && T,(1),E_2\\ &(3)&&Q\rightarrow S&&P\\ &(4)&&\neg P\rightarrow S&&T,(2),(3),I_6\\ &(5)&&\neg S\rightarrow P&&T,(4),E_{22}\\ &(6)&&P\rightarrow R&& P\\ &(7)&&\neg S\rightarrow R&&T,(5),(6),I_6\\ &(8)&&S\lor R&&T,(7),E_2 \end{aligned}\\ \therefore \{P\lor Q,P\rightarrow R,Q\rightarrow R\}\Longrightarrow S\lor R (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)P∨Q¬P→QQ→S¬P→S¬S→PP→R¬S→RS∨RPT,(1),E2PT,(2),(3),I6T,(4),E22PT,(5),(6),I6T,(7),E2∴{P∨Q,P→R,Q→R}⟹S∨R利用CP规则：
例题\color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题}例题：求证 R→SR\rightarrow SR→S 是前提 {P→(Q→S),¬R∨P,Q}\{P\rightarrow (Q\rightarrow S),\neg R\lor P,Q\}{P→(Q→S),¬R∨P,Q} 的有效结论。
证明：
(1)RP(附加前提)(2)¬R∨PP(3)PP,(1),(2),I5(4)P→(Q→S)P(5)Q→ST,(3),(4),I3(6)QP(7)ST,(5),(6),I3(8)R→SCP,(1),(7)∴{P→(Q→S),¬R∨P,Q}⟹R→S\begin{aligned} &(1)&&R&&P(附加前提)\\ &(2)&&\neg R\lor P &&P\\ &(3)&&P&&P,(1),(2),I_5 \\ &(4)&&P\rightarrow (Q\rightarrow S) &&P\\ &(5)&&Q\rightarrow S &&T,(3),(4),I_3 \\ &(6)&&Q&& P\\ &(7)&&S&&T,(5),(6),I_3\\ &(8)&&R\rightarrow S &&CP,(1),(7) \end{aligned}\\ \therefore \{P\rightarrow (Q\rightarrow S),\neg R\lor P,Q\}\Longrightarrow R\rightarrow S (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)R¬R∨PPP→(Q→S)Q→SQSR→SP(附加前提)PP,(1),(2),I5PT,(3),(4),I3PT,(5),(6),I3CP,(1),(7)∴{P→(Q→S),¬R∨P,Q}⟹R→S
间接证明法：反证，矛盾，归谬法
反证法：将结论的否定加入到前提，证明新前提集合不相容(蕴含矛盾式)。即 (A⟹B)⟺(A∧¬B⟹F)(A\Longrightarrow B)\iff (A\land\neg B\Longrightarrow F)(A⟹B)⟺(A∧¬B⟹F)
例题\color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题}例题：n证明下面论述的有效性。在意甲比赛中，假如有四只球队，其比赛情况如下：如果国际米兰队获得冠军，则AC米兰队或尤文图斯队获得亚军；若尤文图斯队获得亚军，国际米兰队不能获得冠军；若拉齐奥队获得亚军，则AC米兰队不能获得亚军；最后，国际米兰队获得冠军。所以，拉齐奥队不能获得亚军。
证明：
设 P:P:P: 国际米兰队获得冠军；Q:Q:Q: AC米兰队获得亚军；R:R:R: 尤文图斯队获得亚军；S:S:S: 拉齐奥队获得亚军。则原命题可符号化为：P→Q∨R,R→¬P,S→¬Q,P⟹¬SP\rightarrow Q\lor R,R\rightarrow \neg P,S\rightarrow \neg Q,P\Longrightarrow \neg SP→Q∨R,R→¬P,S→¬Q,P⟹¬S
(1)¬(¬S)P(附加前提)(2)ST,(1),E19(3)S→¬QP(4)¬QT,(2),(3),I3(5)P→Q∨RP(6)PP(7)Q∨RT,(5),(6),I3(8)RT,(4),(7),I5(9)R→¬PP(10)¬PT,(8),(9),I3(11)P∧¬P⟺FT,(6),(10),E18∴拉齐奥队不能获得亚军\begin{aligned} &(1)&& \neg(\neg S) &&P(附加前提)\\ &(2)&& S &&T,(1),E_{19}\\ &(3)&& S\rightarrow \neg Q&&P\\ &(4)&& \neg Q &&T,(2),(3),I_3 \\ &(5)&& P\rightarrow Q\lor R&P \\ &(6)&& P&& P\\ &(7)&& Q\lor R&&T,(5),(6),I_3\\ &(8)&& R&&T,(4),(7),I_5\\ &(9)&& R\rightarrow \neg P&&P\\ &(10)&& \neg P&&T,(8),(9),I_3\\ &(11)&& P\land \neg P\iff F&&T,(6),(10),E_{18} \end{aligned}\\ \therefore 拉齐奥队不能获得亚军 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)¬(¬S)SS→¬Q¬QP→Q∨RPQ∨RRR→¬P¬PP∧¬P⟺FPP(附加前提)T,(1),E19PT,(2),(3),I3PT,(5),(6),I3T,(4),(7),I5PT,(8),(9),I3T,(6),(10),E18∴拉齐奥队不能获得亚军
消解法(归结推理法)：机械（无脑）推理法
消解原理(归结原理)：根据 I10:(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R)I_{10}:(P\lor Q)\land(\neg P\lor R)\Longrightarrow (Q\lor R)I10:(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R)
推理过程：对子句集合求消解式的过程
- ⨀\color{red}\bigodot⨀ 1.从 {G1,G2,...,Gn,¬H}\{G_1,G_2,...,G_n,\neg H\}{G1,G2,...,Gn,¬H} 出发
- ⨀\color{red}\bigodot⨀ 2.将 G1∧G2∧...∧Gn∧¬HG_1\land G_2\land...\land G_n\land\neg HG1∧G2∧...∧Gn∧¬H 转化成合取范式 P∧(P∨R)∧(¬P∨Q)∧...∧(¬P∨R)P\land (P\lor R)\land(\neg P\lor Q)\land...\land(\neg P\lor R)P∧(P∨R)∧(¬P∨Q)∧...∧(¬P∨R) 的形式
- ⨀\color{red}\bigodot⨀ 3.将合取范式的所有子句(析取式)构成子句集合 S={P,P∨R,¬P∨Q,...,¬P∨R}S=\{P,P\lor R,\neg P\lor Q,...,\neg P\lor R \}S={P,P∨R,¬P∨Q,...,¬P∨R}
- ⨀\color{red}\bigodot⨀ 4.使用消解规则消除互补式(互反对)，如(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R)(P\lor Q)\land(\neg P\lor R)\Longrightarrow (Q\lor R)(P∨Q)∧(¬P∨R)⟹(Q∨R) 将 Q∨RQ\lor RQ∨R 放入 SSS。
- ⨀\color{red}\bigodot⨀ 5.重复上一步直到出现矛盾式(空子句)。
例题\color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题}例题：如果公司的利润高，那么公司有个好经理或它是一个好企业及大体上是个好的经营年份。现在的情况是：公司的利润高,不是一个好的经营年份。证明公司有个好经理。
证明：
设 A:A:A: 公司的利润高；B:B:B: 公司有个好经理；C:C:C: 公司是个好企业；D:D:D: 是个好的经营年份。则原命题可符号化为：(A→(B∨(C∧D)))∧A∧¬D⟹B(A\rightarrow (B\lor (C\land D)))\land A\land \neg D\Longrightarrow B(A→(B∨(C∧D)))∧A∧¬D⟹B
令P1:A→(B∨(C∧D))⟺¬A∨(B∨(C∧D))⟺¬A∨((B∨C)∧(B∨D))⟺(¬A∨B∨C)∧(¬A∨B∨D))P2:AP3:¬D\begin{aligned}令&P_1:A\rightarrow (B\lor (C\land D))&&\iff\neg A\lor (B\lor (C\land D))\\&&&\iff\neg A\lor ((B\lor C)\land (B\lor D)) \\&&&\iff(\neg A\lor B\lor C)\land (\neg A\lor B\lor D)) \\ &P_2:A\\ &P_3:\neg D\\ \end{aligned} 令P1:A→(B∨(C∧D))P2:AP3:¬D⟺¬A∨(B∨(C∧D))⟺¬A∨((B∨C)∧(B∨D))⟺(¬A∨B∨C)∧(¬A∨B∨D))
则 S={¬A∨B∨C,¬A∨B∨D,A,¬D,¬B}S=\{\neg A\lor B\lor C,\neg A\lor B\lor D,A,\neg D,\neg B\}S={¬A∨B∨C,¬A∨B∨D,A,¬D,¬B}
(1)¬A∨B∨DP(2)AP(3)B∨D由(2)(3)归结(4)¬BP(5)D由(3)(4)归结(6)¬DP(7)Flase由(5)(6)归结导出空子句,即反证假设发现矛盾∴公司有个好经理\begin{aligned} &(1)&& \neg A\lor B\lor D &&P\\ &(2)&& A &&P\\ &(3)&& B\lor D && 由(2)(3)归结\\ &(4)&& \neg B && P\\ &(5)&& D && 由(3)(4)归结\\ &(6)&& \neg D &&P\\ &(7)&& \text{Flase} && 由(5)(6)归结\\ \end{aligned}\\ 导出空子句,即反证假设发现矛盾\therefore公司有个好经理 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)¬A∨B∨DAB∨D¬BD¬DFlasePP由(2)(3)归结P由(3)(4)归结P由(5)(6)归结导出空子句,即反证假设发现矛盾∴公司有个好经理
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