中国剩余定理及其代码实现

初等数论学习计划

中国剩余定理

部分源自于维基百科. 后续会继续补充修改.
初等数论四大定理之一.

1.1 历史背景与特殊情形口诀

中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则 以及求解方法。也称为孙子定理.

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作**《孙子算经》**卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》[1]：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知
这个歌诀给出了模数为 3、5、7 时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到
70 × 2 + 21 × 3 + 15 × 2 = 233 = 2 × 105 + 23. 70 \times 2 + 21 \times 3 + 15 \times 2 = 233 = 2\times 105 +23. 70×2+21×3+15×2=233=2×105+23.因此按歌诀求出的结果就是23.

1.2 数学语言描述

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

( S ) : { x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ a n ( m o d m n ) (S) : \quad \left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \vdots \qquad\qquad\qquad \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{matrix} \right. (S):⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数 m 1 , m 2 , . . . , m n m_1, m_2, ... , m_n m1,m2,...,mn其中任两数互质，则对任意的整数： a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ... , a_n a1,a2,...,an，方程组 ( S ) {\displaystyle (S)} (S)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

(i) 设 M = m 1 × m 2 × ⋯ × m n = ∏ i = 1 n m i {\displaystyle M=m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{n}=\prod _{i=1}^{n}m_{i}} M=m1×m2×⋯×mn=i=1∏nmi 是整数 m 1 , m 2 , . . . , m n m_1, m_2, ... , m_n m1,m2,...,mn 的乘积，并设 M i = M / m i , ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle M_{i}=M/m_{i},\;\;\forall i \in \{1,2,\cdots ,n\}} Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}，即 M i {\displaystyle M_{i}} Mi是除了 m i m_i mi以外的 n − 1 n − 1 n−1个整数的乘积。

(ii)

设 t i = M i − 1 {\displaystyle t_{i}=M_{i}^{-1}} ti=Mi−1 为 M i {\displaystyle M_{i}} Mi 模 m i m_i mi 的数论倒数： t i M i ≡ 1 ( m o d m i ) , ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } . {\displaystyle t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}.} tiMi≡1(modmi),∀i∈{1,2,⋯,n}..

数论倒数，即模逆元也称为模倒数。

一整数 a a a对同余 n n n之模逆元是指满足以下公式的整数 a − 1 ≡ b ( m o d n ) a^{{-1}}\equiv b{\pmod {n}} a−1≡b(modn). 也可以写成以下的式子
a b ≡ 1 ( m o d n ) . {\displaystyle ab\equiv 1{\pmod {n}}.} ab≡1(modn). 整数 a a a 对模数 n n n 之模逆元存在的充分必要条件是 a a a 和 n n n 互素，

(iii)
方程组 ( S ) {\displaystyle (S)} (S)的通解形式为：
x = a 1 t 1 M 1 + a 2 t 2 M 2 + ⋯ + a n t n M n + k M = k M + ∑ i = 1 n a i t i M i , k ∈ Z . {\displaystyle x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z} .} x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn+kM=kM+i=1∑naitiMi,k∈Z. 在模 M {\displaystyle M} M的意义下，方程组 ( S ) {\displaystyle (S)} (S) 只有一个解： x = ∑ i = 1 n a i t i M i . {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}.} x=i=1∑naitiMi..

例子
使用中国剩余定理来求解上面的“物不知数”问题，便可以理解《孙子歌诀》中的数字含义。这里的线性同余方程组是：

( S ) : { x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 ) {\displaystyle (S):\quad \left\{{\begin{matrix}x\equiv 2{\pmod {3}}\\x\equiv 3{\pmod {5}}\\x\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}}\right.} (S):⎩⎨⎧x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)
三个模数 m 1 = 3 , m 2 = 5 , m 3 = 7 m_1=3, m_2=5, m_3=7 m1=3,m2=5,m3=7 的乘积是 M = 105 M=105 M=105，对应的 M 1 = 35 , M 2 = 21 , M 3 = 15 M_1=35, M_2=21, M_3=15 M1=35,M2=21,M3=15. 而可以计算出相应的数论倒数： t 1 = 2 , t 2 = 1 , t 3 = 1 t_1=2, t_2=1, t_3=1 t1=2,t2=1,t3=1. 所以《孙子歌诀》中的 70、21 和 15 其实是这个“物不知数”问题的基础解：

70 = 2 × 35 ≡ { 1 ( m o d 3 ) 0 ( m o d 5 ) 0 ( m o d 7 ) , 21 = 1 × 21 ≡ { 0 ( m o d 3 ) 1 ( m o d 5 ) 0 ( m o d 7 ) , 15 = 1 × 15 ≡ { 0 ( m o d 3 ) 0 ( m o d 5 ) 1 ( m o d 7 ) , {\displaystyle 70=2\times 35\equiv \left\{{\begin{matrix}1{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.21=1\times 21\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\1{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.15=1\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\1{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.} 70=2×35≡⎩⎨⎧1(mod3)0(mod5)0(mod7),21=1×21≡⎩⎨⎧0(mod3)1(mod5)0(mod7),15=1×15≡⎩⎨⎧0(mod3)0(mod5)1(mod7),
而将原方程组中的余数相应地乘到这三个基础解上，再加起来，其和就是原方程组的解：

2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 ≡ { 2 × 1 + 3 × 0 + 2 × 0 ≡ 2 ( m o d 3 ) 2 × 0 + 3 × 1 + 2 × 0 ≡ 3 ( m o d 5 ) 2 × 0 + 3 × 0 + 2 × 1 ≡ 2 ( m o d 7 ) , {\displaystyle 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}2\times 1+3\times 0+2\times 0\equiv 2{\pmod {3}}\\2\times 0+3\times 1+2\times 0\equiv 3{\pmod {5}}\\2\times 0+3\times 0+2\times 1\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.} 2×70+3×21+2×15≡⎩⎨⎧2×1+3×0+2×0≡2(mod3)2×0+3×1+2×0≡3(mod5)2×0+3×0+2×1≡2(mod7),
这个和是 233，实际上原方程组的通解公式为：

x = 233 + k × 105 , k ∈ Z {\displaystyle x=233+k\times 105,\;k\in \mathbb {Z} } x=233+k×105,k∈Z
《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是 k = − 2 时的解： x = 23 . {\displaystyle k=-2} 时的解：{\displaystyle x=23}. k=−2时的解：x=23.

1.3 程序化计算机辅助求解

观察中国剩余定理的求解很程式化，自然可以用编程语言实现, 可以试试. 这里提供Python3代码.

from functools import reduce
def chinese_remainder(n, a):sum = 0prod = reduce(lambda a, b: a*b, n)for n_i, a_i in zip(n, a):p = prod // n_isum += a_i * mul_inv(p, n_i) * preturn sum % prod`def mul_inv(a, b):b0 = bx0, x1 = 0, 1if b == 1: return 1while a > 1:q = a // ba, b = b, a%bx0, x1 = x1 - q * x0, x0if x1 < 0: x1 += b0return x1

我们带入孙子算经的例子进去：


if __name__ == '__main__':n = [3, 5, 7]a = [2, 3, 2]print(chinese_remainder(n, a))

运行结果为23.

Mathematica 里的ChineseRemainder函数可以方便使用. 比如针对孙子歌诀的习题, 我们可以如下操作，得到最小正整数解23.

如果想找大于23的最小正整数解，可以增加一个参数.

如果我们想找小于2020的所有满足要求的正整数解：（下面截图不全)

稍加改造，代码将会清楚一些：符合要求的解的个数

前10个正整数数解(从小到大）.

代码文本：

#1
l = 0;
Reap[While[l < 2020, l = ChineseRemainder[{2, 3, 2}, {3, 5, 7}, l]; If[l < 2020, Sow[l]]; l++]][[2, 1]]
#2
s = 0;
Do[Print[s = ChineseRemainder[{2, 3, 2}, {3, 5, 7}, s]]; s = s + 1, 10]

更多有趣的可以参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/35727703