中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解

《孙子算经》里面的"物不知数"说的是这样的一个题目：一堆东西不知道具体数目，3个一数剩2个，5个一数剩3个，7个一数剩2个，问一共有多少个。

书里面给了计算过程及答案：70*2 + 21*3 + 15*2 -105*2 = 23。

它的计算思路如下：

70是能被5或7整除的数字，但是除以3正好余1。

21是能被3或7整除的数字，但是除以5正好余1。

15是能被3或5整除的数字，但是除以7正好余1。

所以若有数N = 70 * N1 + 21 * N2 + 15 * N3(其中N,N1,N2,N3为正整数)，则整数N是符合题目要求的结果(mod3为N1，mod5为N2， mod7为N3)。

我们把N1赋值2，N2赋值3，N3赋值2。

则: N = 70*2 + 21*3 + 15*2 = 233。

但是3，5，7的最小公倍数为105。

所以N + 105*M均为正解。

因此为了求得最小正整数解，我们需要用(N mod 105)也就是23了。

中国剩余定理(西方数学史中的叫法)，就是上一题目的一般情况。

设m1,m2...mk是两两互素的正整数，即: gcd(mi, mj) = 1 (其中 i != j, i, j >= 1且 <=k).

则同余方程组:

x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)

... ...

x ≡ ak(mod mk)

存在唯一[m1,m2...mk]使方程成立.

解法同物不知数是一致的.我们可以稍微模仿一下.

唯一的难题就是如何把上面70, 15, 21的求法,对应到一般情况来.

假设: N1, N2, ... ,Nk.就是对应的权值, 满足如下条件:

N1 能够被 m2, m3..., mk整除,但是除以m1正好余1.

N2 能够被 m1, m3..., mk整除,但是除以m2正好余1.

... ...

Nk能够被m1, m2,...,mk-1整除,但是除以mk正好余1.

N1->Nk如果求出来了,那么假设:

x1 = N1*a1 + N2*a2 + ... + Nk*ak就是我们要求的x一个解, 同物不知数一样,我们把x1 mod (m1*m2*...*mk)的结果

就是x的最小整数解,若为负数,则再加上一个m1*m2*...*mk.因为加减整数倍个m1*m2*...*mk所得结果都是x的解.

所以问题只剩下一个,就是求N1, N2,...,Nk.

怎么求呢?我需要先化简一番:

设m = m1*m2*...*mk, L, J为任意整数.

因为Ni能被m1, m2,...,mi-1, mi+1,...,mk整除(其中i+1<k)

因此: Ni = m/mi *L

又因为Ni除以mi余1

因此: Ni = mi*J + 1

即: mi*J + 1 = m/mi *L ==> (-mi)*J + m/mi*L = 1

而m1-->mk这些数都是互质数,所以(-mi) 同 m/mi也是互质数.即:

gcd(mi, m/mi) = 1也就是说:

(m/mi)*L + (-mi)*J = gcd(m/mi, -mi)==>其中-mi和m/mi都是已知的,J和L未知

这就是经典扩展欧几里德定理的原型(由定理知J和L是唯一的, 因此,N1-->Nk有唯一解).

按照扩展欧几里德定理求解即可.

扩展欧几里德定理：
a和b都是不全为0的正整数，则：
a*x + b*y = gcd(a, b)
存在唯一的x, y使得上面等式成立。
(当然，容易得知，如果，a和b中有负数，那么也是成立的。)
本题中，m/mi相当于a, -mi相当于b, L相当于x, J相当于y。求出L, J就能求出Ni。

此时Ni求解完毕.

我们要求的x的最小整数解也就呼之欲出了.

代码:

#include <iostream>
using namespace std;
//参数可为负数的扩展欧几里德定理
void exOJLD(int a, int b, int &x, int &y){//根据欧几里德定理if(b == 0){//任意数与0的最大公约数为其本身。x = 1;y = 0;}else{int x1, y1;exOJLD(b, a%b, x1, y1);if(a*b < 0){//异号取反x = - y1;y = a/b*y1 - x1;}else{//同号x = y1;y = x1 - a/b* y1;}}
}
//剩余定理
int calSYDL(int a[], int m[], int k){int N[k];//这个可以删除int mm = 1;//最小公倍数int result = 0;for(int i = 0; i < k; i++){mm *= m[i];}for(int j = 0; j < k; j++){int L, J;exOJLD(mm/m[j], -m[j], L, J);N[j] = m[j] * J + 1;//1N[j] = mm/m[j] * L;//2 【注】1和2这两个值应该是相等的。result += N[j]*a[j];}return (result % mm + mm) % mm;//落在(0, mm)之间，这么写是为了防止result初始为负数，本例中不可能为负可以直接 写成：return result%mm;即可。
}int main(){int a[3] = {2, 3, 2};int m[3] = {3, 5, 7};    cout<<"结果:"<<calSYDL(a, m, 3)<<endl;
}

中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解相关推荐

孙子定理c语言程序,中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解
<孙子算经>里面的"物不知数"说的是这样的一个题目:一堆东西不知道具体数目,3个一数剩2个,5个一数剩3个,7个一数剩2个,问一共有多少个. 书里面给了计算过程及答案: ...
中国剩余定理 (孙子定理) 的证明和代码
目录 [引入] [中国剩余定理] [代码实现] [借鉴于] [引入] <孙子算经>里有这样一个题目:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 术曰:" ...
中国剩余定理(孙子定理)(精华详细版！)
问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 简单点说就是,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数.上面给出了解法.再明白这个解法的原理之前,需要 ...
中国剩余定理(孙子定理)详解
为什么发现了这个定理,这要源于一道题淮安民间传说着一则故事--"韩信点兵",其次有成语"韩信点兵,多多益善".韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一 ...
中国剩余定理——孙子定理
孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理. 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以 ...
中国剩余定理matlab程序,中国剩余定理即孙子定理的五种解法
中国剩余定理即孙子定理的五种解法 -- 学习初等数论心得笔记 2013-10-04 博文2015-12修改 "中国剩余定理"是公元5-6世纪.我国南北朝时期的一部著名算术著作< ...
中国剩余定理即孙子定理的五种解法
加深一下理解,找了点纯数学的资料(老者善学,尤老骥伏枥,况乎我也): "中国剩余定理"是公元5-6世纪.我国南北朝时期的一部著名算术著作<孙子算经>中的一个" ...
FJNU2018低程A 逃跑路线（Lucas + 中国剩余定理 + LGV定理）题解
题目描述 n个人在w*h的监狱里面想要逃跑,已知他们的同伙在坐标(bi,h)接应他们,他们现在被关在(ai,1)现在他们必须要到同伙那里才有逃出去的机会,这n个人又很蠢只会从(x,y)->(x+ ...
算法——中国剩余定理（孙子定理）
借15级上机的一道题数论の重逢来总结一下中国剩余定理先举一个小例子问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 说明白一点就是说,存在一个数x,除以3余2,除以5余三 ...

中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解

中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解相关推荐

最新文章

热门文章