中国剩余定理（孙子定理）原理及模板代码

背景简介

孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

原理

模板代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;  //数据范围比较大，这里我们统一用long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)   //扩展欧几里得算法
{if(!b){x=1,y=0;return a;}LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);LL t=x;x=y;y=t-a/b*y;return ans;
}
LL mod(LL a,LL b)    //保证a%b取模后的值一定是非负的
{return (a%b+b)%b;
}
int n;
int main()
{scanf("%d",&n);LL m1,a1,m2,a2,k1,k2;scanf("%lld%lld",&a1,&m1);for(int i=1;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&a2,&m2);LL d=exgcd(a1,-a2,k1,k2);if((m2-m1)%d)  //如果不能整除，说明无解{printf("%d",-1);return 0;}k1=mod(k1*(m2-m1)/d,abs(a2/d));  //随时取模，保证计算过程中的数为最小，让k的值随时保持最优m1=k1*a1+m1;       //此时的m和a即为合并后x表达式里的m和aa1=abs(a1/d*a2);   //}printf("%lld",mod(m1,a1));   //答案为这个return 0;
}

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