中国剩余定理求解同余线性方程组（模数互素和非互素的情况）

参考：http://yzmduncan.iteye.com/blog/1323599

中国剩余定理

中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法，是数论中的一个重要定理。

设m1，m2，m3，...，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

则同余方程组：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以写为这种形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'为mi在模ni乘法下的逆元。

中国剩余定理非互质版

中国剩余定理求解同余方程要求模数两两互质，在非互质的时候其实也可以计算，这里采用的是合并方程的思想。下面是详细推导。

例

FZU1402 中国剩余定理

Cpp代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64 int64;
int64 a[15],b[15];
int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
int64 t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return d;
}
//求解模线性方程组x=ai(mod ni)
int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)
{
int i;
int64 N = 1;
int64 result = 0;
for(i = 0; i < len; i++)
N = N*n[i];
for(i = 0; i < len; i++)
{
int64 m = N/n[i];
int64 x,y;
Extend_Euclid(m,n[i],x,y);
x = (x%n[i]+n[i])%n[i];
result = (result + m*a[i]*x%N)%N;
}
return result;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);
printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));
}
return 0;
}

POJ2891 非互质版

Cpp代码

/**
中国剩余定理（不互质）
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64 int64;
int64 Mod;
int64 gcd(int64 a, int64 b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
int64 t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return d;
}
//a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1
int64 inv(int64 a, int64 n)
{
int64 x,y;
int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);
if(t != 1)
return -1;
return (x%n+n)%n;
}
//将两个方程合并为一个
bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3)
{
int64 d = gcd(n1,n2);
int64 c = a2-a1;
if(c%d)
return false;
c = (c%n2+n2)%n2;
c /= d;
n1 /= d;
n2 /= d;
c *= inv(n1,n2);
c %= n2;
c *= n1*d;
c += a1;
n3 = n1*n2*d;
a3 = (c%n3+n3)%n3;
return true;
}
//求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质
int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n)
{
int64 a1=a[0],n1=n[0];
int64 a2,n2;
for(int i = 1; i < len; i++)
{
int64 aa,nn;
a2 = a[i],n2=n[i];
if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))
return -1;
a1 = aa;
n1 = nn;
}
Mod = n1;
return (a1%n1+n1)%n1;
}
int64 a[1000],b[1000];
int main()
{
int i;
int k;
while(scanf("%d",&k)!=EOF)
{
for(i = 0; i < k; i++)
scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);
printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));
}
return 0;
}

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