MCS：离散随机变量—

Binomial

当变量xxx为某个事件独立重复nnn次，其中成功的次数时，变量xxx为二项式分布。每次成功的概率为ppp,变量xxx的取值范围为[0∼n0 \sim n0∼n]:

P(x)=n![x!(n−x)!]px(1−p)n−x，x=0,...,nP(x) = \frac{n!}{[x!(n - x)!]p^x(1 - p)^{n-x}}，x = 0,...,nP(x)=[x!(n−x)!]px(1−p)n−xn!，x=0,...,n

期望和方差：

E(x)=npE(x) = npE(x)=np
V(x)=np(1−p)V(x) = np(1 - p)V(x)=np(1−p)

累积分布函数：

F(xo)=P(x<=xo)F(x_o) = P(x <= x_o)F(xo)=P(x<=xo)

生成随机二项式变量的三种方式

nnn 较小时
Normal 近似
Poisson 近似

nnn值足够小:

令x=0x = 0x=0
For i=1→ni = 1 \to ni=1→n:
- 生成随机连续均匀变量:u∼U(0,1)u \sim U(0, 1)u∼U(0,1)
- if u<p,x=x+1u < p, x = x + 1u<p,x=x+1
Return xxx

例：设xxx为二项式分布，且n=5n = 5n=5,p=0.375p = 0.375p=0.375,生成一个随机二项式变量：

生成5个随机的均匀变量：0.28，0.94，0.71，0.63，0.32
只有两个小于p=0.375p = 0.375p=0.375
x=2x = 2x=2

正态近似：

当nnn值足够大，且p<=0.5,np>5p <= 0.5, np > 5p<=0.5,np>5,或者p>0.5,n(1−p)>5p > 0.5, n(1 - p) > 5p>0.5,n(1−p)>5
x∼N[np,np(1−p)]x \sim N[np, np(1 - p)]x∼N[np,np(1−p)]

生成随机的标准正态分布变量z∼N(0,1)z \sim N(0, 1)z∼N(0,1)
通过标准正态分布生成任意正态分布：x=integer[np+znp(1−p)+0.5]x = integer[np + z \sqrt{np(1 - p)} + 0.5]x=integer[np+znp(1−p)+0.5]

例：假设二项式分布的n=100n = 100n=100,p=0.4p = 0.4p=0.4,生成随机的二项式变量xxx:

$n = 100, p = 0.4, np = 40 > 5, 选择正态近似法
x∼N(np,np(1−p))x \sim N(np, np(1-p))x∼N(np,np(1−p))
x∼N(40,4.9)x \sim N(40, 4.9)x∼N(40,4.9)

生成随机标准正态分布变量:z=0.8z = 0.8z=0.8
x=int[np+0.8×4.9+0.5]=44x = int[np + 0.8 \times 4.9 + 0.5] = 44x=int[np+0.8×4.9+0.5]=44

泊松近似

当nnn很大，ppp很小

泊松变量的期望记为θ\thetaθ,E(x)=θ=npE(x) = \theta = npE(x)=θ=np
生成期望为θ\thetaθ的泊松变量xxx

例：设随机二项式变量xxx，来自于独立重复次数为n=1000n = 1000n=1000的实验，p=0.001p = 0.001p=0.001,生成该分布随机变量：

np=1<5,p<0.5np = 1 < 5, p < 0.5np=1<5,p<0.5,只能通过泊松分布来近似
θ=np=1\theta = np = 1θ=np=1

模拟生成二项式变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_Binomial_var(n=1, p=0.5):if n <= 100:u = np.random.uniform(0, 1, (n,))x = np.sum(u < p)if (p >= 0.1):z = np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0)x = int(n*p + z*np.sqrt(n*p*(1 - p)) + 0.5)else:x = np.random.poisson(lam=n*p)return x

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