漫步数理统计九——离散随机变量

定义1：\textbf{定义1：}对于一个随机变量，如果它的空间要么有限，要么可数，那么我们称其是一个离散随机变量。

对于集合D\mathcal{D}，如果它的元素是可列的，那么我们称这个集合是可数的；例如在D\mathcal{D}与正整数之间存在一个一一对应的关系。

例1：\textbf{例1：}考虑抛硬币产生的独立序列，每个结果要么是头(H)(H)要么是尾(T)(T)。进一步，在每次抛的过程中，我们假设H,TH,T是等可能的，即P(H)=P(T)=12P(H)=P(T)=\frac{1}{2}。样本空间C\mathcal{C}由像TTHTHHT⋯TTHTHHT\cdots这样的序列组成，令随机变量XX第一次抛出头时所抛的次数，那么对于给定的序列，X=3X=3。显然XX的空间是D={1,2,3,4,…}\mathcal{D}=\{1,2,3,4,\ldots\}，当开始是HH 时X=1X=1，因此P(X=1)=12P(X=1)=\frac{1}{2}，同样得当序列为THTH 时X=2X=2，根据独立性可知概率P(X=2)=(12)(12)=14P(X=2)=(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}。更一般得，如果X=xX=x，其中x=1,2,3,4,…x=1,2,3,4,\ldots，那么前面有x−1x-1次为尾，即TT⋯THTT\cdots TH，所以根据独立性，我们有

P(X=x)=(12)x−1(12)=(12)x,x=1,2,3,…

P(X=x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^x,\quad x=1,2,3,\ldots

这个空间是可数的。一个有趣的事件是第一处出现头的次数为奇数；例如X=∈{1,3,5,…}X=\in\{1,3,5,\ldots\}，这个事件的概率为

P[X∈{1,3,5,…}]=∑x=1∞(12)2x−1=1/21−(1/4)=23

P[X\in\{1,3,5,\ldots\}]=\sum_{x=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1}=\frac{1/2}{1-(1/4)}=\frac{2}{3}

通过上面的例子表明，关于离散随机变量的概率可以用P(X=x)P(X=x)的概率求出来，这些概率确定了一个重要的函数，定义下：

定义2：\textbf{定义2：}令XX是离散随机变量，空间为D\mathcal{D}，XX的概率质量函数由

pX(x)=P[X=x],for x∈D

p_X(x)=P[X=x],for\ x\in\mathcal{D}

给出。

注意，pmf满足下面两条性质：

(i)0≤pX(x)≤1,x∈D;(ii)Σx∈DpX(x=1)

(i)0\leq p_X(x)\leq 1,x\in\mathcal{D};(ii)\Sigma_{x\in\mathcal{D}}p_X(x=1)

对于离散集合D\mathcal{D}，如果一个函数满足性质(i)(ii)(i)(ii)，那么这个函数唯一确定了随机变量的分布。

令XX是离散随机变量，空间为D\mathcal{D}，FX(x)F_X(x)的不连续点定义了质量；即如果xx是FXF_X的一个不连续点，那么P(X=x)>0P(X=x)>0。现在我们将随机变量空间与概率为正的点区别开来，对那些空间XX中概率为正的点我们定义其为随机变量XX 的支撑，我们经常用S\mathcal{S}来表示XX的支撑，注意S⊂D\mathcal{S}\subset\mathcal{D}，当然也有可能S=D\mathcal{S}=\mathcal{D}

例2：\textbf{例2：}现在有100个保险丝，从中随机抽出5个进行检测；如果5个均合格，那么这100个接受。事实上，这100个中有20个不合格，那么该保险丝被接受的概率为

(805)(1005)=0.32

\frac{\binom{80}{5}}{\binom{100}{5}}=0.32

更一般得，令随机变量XX是5个中不合格的个数，那么XX的pmf为

pX(x)=⎧⎩⎨⎪⎪(20x)(805−x)(1005)0for x=0,1,2,3,4,5elsewhere

p_X(x)= \begin{cases} \frac{\binom{20}{x}\binom{80}{5-x}}{\binom{100}{5}}&for\ x=0,1,2,3,4,5\\ 0&elsewhere \end{cases}

很明显，XX的空间是D={0,1,2,3,4,5}\mathcal{D}=\{0,1,2,3,4,5\}，这是满足超几何分布的随机变量的实例，基于这些讨论很容易画出XXcdf的图像。

在统计学中经常会遇到这样的问题，我们有一个随机变量XX 并且知道它的分布，然而我们感兴趣的是随机变量YY，他它是XX的某个变量，Y=g(X)Y=g(X)。尤其是我们想确定YY的分布，假设XX在空间DX\mathcal{D}_X中是离散的，那么YY的空间是DY={g(x):x∈DX}\mathcal{D}_Y=\{g(x):x\in\mathcal{D}_X\}。现在考虑两种情况：

首先gg是一对一的，那么YY的pmf为

pY(y)=P[Y=y]=P[g(X)=y]=P[X=g−1(y)]=pX(g−1(y))(1)

\begin{equation} p_Y(y)=P[Y=y]=P[g(X)=y]=P[X=g^{-1}(y)]=p_X(g^{-1}(y))\tag1 \end{equation}

例3：\textbf{例3：}考虑例1的几何随机变量XX，XX是第一次出现头时所抛硬币的次数，令YY是第一次出现头时前面所抛硬币的次数，即Y=X−1Y=X-1。这时函数gg为g(x)=x−1g(x)=x-1，其逆为g−1(y)=y+1g^{-1}(y)=y+1，YY的空间是DY={0,1,2,…}D_Y=\{0,1,2,\ldots\}，根据等式1的表达式可得YY的pmf是

pY(y)=pX(y+1)=(12)y+1,for y=0,1,2,…

p_Y(y)=p_X(y+1)=\left(\frac{1}{2}\right)^{y+1},for\ y=0,1,2,\ldots

例4：\textbf{例4：}令XX的pmf为

pX(x)={3!x!(3−x)!(23)x(13)3−x0x=0,1,2,3elsewhere

p_X(x)= \begin{cases} \frac{3!}{x!(3-x)!}(\frac{2}{3})^x(\frac{1}{3})^{3-x}&x=0,1,2,3\\ 0&elsewhere \end{cases}

我们现在求随机变量Y=X2Y=X^2的pmfpY(y)p_Y(y)，变换y=g(x)=x2y=g(x)=x^2将DX={x:x=0,1,2,3}\mathcal{D}_X=\{x:x=0,1,2,3\}映射到DY={y:y=0,1,4,9}\mathcal{D}_Y=\{y:y=0,1,4,9\}，一般而言，y=x2y=x^2不是一对一映射的；但是这里是满足条件的，因为DX={x:x=0,1,2,3}\mathcal{D}_X=\{x:x=0,1,2,3\}中的xx不存在负值，即我们有单值的反函数x=g−1(y)=y√x=g^{-1}(y)=\sqrt y(不是−y√-\sqrt y)，并且

pY(y)=pX(y√)=3!(y√)!(3−y√)!(23)y√(13)3−y√, y=0,1,4,9

p_Y(y)=p_X(\sqrt y)=\frac{3!}{(\sqrt y)!(3-\sqrt y)!}\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt y}\left(\frac{1}{3}\right)^{3-\sqrt y},\ y=0,1,4,9

第二种情况中的变换g(x)g(x)不是一对一的。虽然不是绝对的，但是对大多数涉及离散随机变量的应用来说，YY的pmf通过直接的方法就能得到，为此我们给出两个例子。

考虑例3中的几何随机变量，我们玩一个游戏，如果第一次头出现的次数为偶数甲方赢一元，如果是奇数那么甲方输一元，令YY表示我们的净收益，那么YY的空间是{−1,1}\{-1,1\}。例1 中已经计算出XX为奇的概率为23\frac{2}{3}，因此YY的分布为pY(−1)=2/3,pY(1)=1/3p_Y(-1)=2/3,p_Y(1)=1/3。

考虑另一个例子，令Z=(X−2)2Z=(X-2)^2，其中XX是例1的几何随机变量，那么ZZ的空间是DZ={0,1,4,9,16,…}\mathcal{D}_Z=\{0,1,4,9,16,\ldots\}，注意当且仅当X=2X=2时Z=0Z=0；当且仅当X=1X=1或者X=3X=3时Z=1Z=1；而其他情况存在一对一的关系：x=z√+2,z∈{4,9,16,…}x=\sqrt z+2,z\in\{4,9,16,\ldots\}。因此ZZ的pmf是：

pZ(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪pX(2)=14pX(1)+pX(3)=58pX(z√+2)=14(12)z√for z=0for z=1for z=4,9,16,…

p_Z(x)= \begin{cases} p_X(2)=\frac{1}{4}&for\ z=0\\ p_X(1)+p_X(3)=\frac{5}{8}&for\ z=1\\ p_X(\sqrt z+2)=\frac{1}{4}(\frac{1}{2})^{\sqrt z}&for\ z=4,9,16,\ldots \end{cases}

为了验证其正确性，读者可以试着计算Z<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2666">Z</script>的pmf在其空间上求和等于1。

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