关于函数连续性的逐点定义

大约在十八世纪60年代，德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass, 1815-1897）给出如下定义：给定函数y=f（x）以及在其定义域内的一个给定点x0

f (x) iscontinuous at x = x0
if
?ε>0 ?δ>0 such that for every x in the domain of f ,

|x ? x0| < δ ? | f(x) ? f(x0)| < ε

在一百年之后，美国数学家鲁宾逊引入超实数系统*R。并且在超实数系统*R上定义了“无限接近”的数字关系“≈”，也就是说，如果两个超实数相差一个无穷小，就说两者彼此“无限接近”。

在这种定义之下，函数y=f（x）在给定点x0处是连续的定义变成了：了一句话：

如果X≈X0，那么f（x）≈ f(x0)，也就是说，如果X无限接近于X0，那么f（x）无限接近于f(x0)。

我们要问：魏尔斯特拉斯与鲁宾逊说的是同一件事情，谁的说法更加接近于普通的“老百姓”？

袁萌 3月19日

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