概率统计:第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
内容提要:
一、 随机变量的定义
设是一个随机试验,其样本空间为,若对每一个样本点,都有唯一确定的实数与之对应,则称上的实值函数是一个随机变量(简记为)。
二、 分布函数的概念和性质
1.分布函数的定义
设是随机变量,称定义在上的实值函数
为随机变量的分布函数。
2.分布函数的性质
(1) ,
(2)单调不减性:,
(3)
(4)右连续性:。
注:上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上,分布函数的定义可能有所不同,例如,其性质也会有所不同。
(5)
注:该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、 离散型随机变量
1.离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列个,则称随机变量是离散型随机变量。
2.离散型随机变量的分布律
(1)定义:离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值,称为离散型随机变量的分布律,表示为
或用表格表示:
|
x1 x2 … xn … |
pk |
P1 p2 … pn … |
或记为
~
(2)性质:,
注:该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注:常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3.离散型随机变量的分布函数
=, 它是右连续的阶梯状函数。
4.常见的离散型分布
(1) 两点分布(0—1分布):其分布律为
即
|
0 1 |
p |
1–p p |
(2)二项分布
(ⅰ)二项分布的来源—重伯努利试验:设是一个随机试验,只有两个可能的结果及,,将独立重复地进行次,则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
(ⅱ)二项分布的定义
设表示在重伯努利试验中事件发生的次数,则随机变量的分布律为
, ,
称随机变量服从参数为的二项分布,记作。
注:即为两点分布。
(3)泊松分布:若随机变量的分布律为
, ,
则称随机变量服从参数为的泊松分布,记作(或。
四、 连续性随机变量
1.连续性随机变量的定义
若对于随机变量,存在定义在上的非负函数,使得对任意的实数,总有 则称于随机变量是连续性随机变量,其中称为的概率密度函数,简称概率密度,为明确起见,有时写为。
2.概率密度函数的性质
(1)
注:该性质是是某一连续型随机变量的概率密度的充要条件。
(2)对连续性随机变量,一定是连续的,但是未必连续,在的连续点处,有,
(3)对任意的实数 从而对任意实数,有
。
注:常用概率密度描述连续型随机变量的统计规律。
4.常见的连续型分布
(1)均匀分布
设表示几何概型中的落点坐标,则其分布函数为
,
其概率密度为
,
称服从区间上的均匀分布,记为。
(2)指数分布
若随机变量的概率密度为
,
称服从参数为的指数分布,其分布函数是
。
(3)正态分布
(ⅰ)标准正态分布:若随机变量的概率密度为
,,
则称服从标准正态分布,记为,其分布函数为
,
(ⅱ)一般正态分布:若随机变量的概率密度为
,,
则称服从参数为的正态分布,记为,其分布函数为
,
(ⅲ)正态分布的性质:
满足对称性,即,;
若,则,即,从而有;
注:由上述性质,可将正态分布的计算转换为标准正态分布的计算,而对于标准正态分布的分布函数值,当时有表可查,根据对称性,当时,可根据算出的值。
若,则
(ⅳ)标准正态分布的上分位点:设,对于任给的,,称满足的点为标准正态分布的上分位点。
五、 随机变量的函数分布
1.离散型随机变量的函数分布
设是离散型随机变量,其分布律为,又
为连续函数),则的分布律为
情形一:对所有的全不相同时,的分布律为
情形二:若知某个,时,则有
,
一般的,的分布律为
,
2.连续型随机变量的函数分布
设是连续型随机变量,其概率密度为,又,则的概率密度为
情形一:如果函数处处可导且,则也是连续型随机变量,其概率密度为
其中=是的反函数。
情形二:如果函数非严格单调,则可分两步求的概率密度:
第一步,求的分布函数,
第二步,对求导数。
六、 几个注记
1.若分布函数中有待定的常数,则该常数的确定是利用的性质:或。
2.若概率密度函数(分布律)中有待定的常数,则该常数的确定是利用(分布律)的性质:(;
3.若是连续型随机变量,对任意的实数 ;
4.离散型随机变量的分布律中两要素缺一不可,即的所有可能的取值以及取每个值时的概率值,离散型随机变量的分布函数是右连续、阶梯状的分段函数;
5.若是连续型随机变量,根据 互求即可。
基本要求
1.熟练掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念,理解分布函数、分布律和概率密度函数的性质;
2.会利用随机变量描述事件,会求随机变量的分布函数,分布律和概率密度函数,会求随机变量函数的分布;
3.熟练掌握六种常用的分布;
4.已知分布函数,会求分布律或概率密度函数,已知分布律或概率密度函数,会求分布函数。
重点内容
随机变量的概念,分布函数、分布律和概率密度函数的概念和性质,分布函数和概率密度函数的计算,随机变量函数的分布。
典型例题分析
例1 设一个盒子中有标号为1,2,3,4,5的5个球,从中等可能的任取3个,用表示取出球的最大号码,求随机变量的分布律及分布函数。
分析:本题中,的所有可能的取值为3,4,5,而取每个值(事件)时的概率是古典概型的概率,然后根据分布律及分布函数的关系求出分布函数。
解:的所有可能的取值为3,4,5,
当时,即取出号码为(1,2,3),,
当时,即取出号码为(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),,
当时,即取出号码为(1,2,5),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),,
故分布律为
X |
3 4 5 |
pk |
1/10 3/10 3/5 |
由公式可得分布函数为
例2 一批零件中有9个正品3个次品,从中任取一个,如果取出次品不再放回,求在取出正品前已取出的次品数的分布律。
分析:本题中,的所有可能的取值为0,1,2,3,而取每个值(事件)时的概率是古典概型的概率。
解:的所有可能的取值为0,1,2,3,设表示第次取出的是正品,则由乘法公式得的分布律为
同理
例3 一个靶子是半径为两米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以表示弹着点与圆心的距离,求的分布函数。
分析:根据分布函数的定义求。
解:设的分布函数为,若,则是不可能事件,此时,;
若 由题意,,为确定常数,取,则有,而,所以,从而
;
若,则是必然事件,于是;
综上所述,
例4 设随机变量的分布函数为
试确定常数,并求。
分析:根据前面的注记,应用的右连续性可求出常数,然后应用的性质中对随机变量的统计规律的描述求概率。
解:由分布函数的右连续性得,由概率与分布函数的关系得
注:从本例可以看出,分布函数既非连续又非阶梯状,从而说明,存在既非离散又非连续的随机变量。
例5 设随机变量的分布函数为,,求
(1)系数,(2)落在内的概率,(3)的概率密度。
分析:根据的性质及和概率密度函数之间的关系求解。
解:(1)由于,可知
,解之得,
于是,。
(2)
=
(3) ,
例6 设随机变量的概率密度,求
(1)系数, (2) (3)求的分布函数。
分析:根据的性质及分布函数和概率密度函数之间的关系求解。
解:(1)由于,得,即,
(2),
(3)
当时,,
当时,+,
所以的分布函数 。
例7 设电视机的寿命(以年记),具有以下的概率密度函数
求(1)电视机的寿命最多为6年的概率,
(2)寿命最在5到10年之间的概率,
分析:本题是已知连续性随机变量的概率密度函数求概率,按前面的公式求即可。
解:电视机的寿命记为,则有
(1)
(2)
例8 设公共汽车每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在任一时刻到达车站是等可能的,求
(1)乘客候车时间不超过3分钟的概率,
(2)乘客每周等车3次,每次若超过3分钟就离开,用表示该乘客在一周内等到公共汽车的次数,求的分布律,并求。
分析:由题意知,乘客候车时间应服从均匀分布,求乘客候车时间不超过3分钟的概率,就是根据概率密度求概率;又由题意可知,是服从二项分布的随机变量。
解:(1)设表示候车时间,由题意可知服从[0,5]上的均匀分布,概率密度为
,
故乘客候车时间不超过3分钟的概率为;
(2)由题意可得,,从而
==。
例9设随机变量,求:
(1) (2)
分析:对正态分布的概率计算,要先将其标准化,然后查表计算。
解:
方法一:因为,所以,从而
(1)
(2)
=
方法二:设的分布函数为,则,于是
(1)
(2)
=
例10 设随机变量的分布律为
X |
0 1 2 |
pi |
0 0.2 0.2 |
求(1)的值, (2)及的分布律。
分析:这是求离散型随机变量的函数分布,先根据分布律的性质求出
,然后再根据公式求函数分布即可。
解:(1)由于,所以
(2)的分布律为
X2 |
0 1 4 |
pi |
0.4 0.2 0.4 |
的分布律为
2X+1 |
1 3 5 |
pi |
0.2 0 0.4 0.2 0.2 |
注:在本题中需要注意的是,
例1 1 设随机变量均匀分布),求
(1)随机变量的概率密度函数,
(2) 随机变量的概率密度函数。
分析:这是求连续型随机变量的函数分布,而且给定的函数非严格单调的,应先求分布函数,然后对分布函数求导数。
解:由条件知随机变量的概率密度为,
(1)的分布函数,显然,当时,,当, 当时,有
=,
所以
(2)的分布函数,显然,当时,,当时,有
=,
所以 。
例12 如果在时间(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布,已知在一分钟内没有汽车通过的概率为,求在两分钟内多于一辆汽车通过的概率。
分析:从题意可以看出,须先求出参数,然后再根据分布律求概率。
解:用随机变量表示在时间内通过某交叉路口的汽车数,则
当时,所以,从而当时,
。
例13 某电池的寿命的正态分布,求,使得寿命在之间的概率不小于。
分析:将正态分布化为标准正态分布,然后查表计算。
解:=
,即,查表得,,
即。
例14 设,求
(1)的概率密度函数,
(2)的概率密度函数。
分析:本题是连续型随机变量的函数分布,而且给出的函数单调增,所以代入公式计算即可。
解:
(1)的反函数为,所以根据公式
,
其中=得
。
(2)的反函数为,所以有
= ,
。
from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm
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