排序算法 | 堆排序，算法的图解、实现、复杂度和稳定性分析

今天讲解一下堆排序的原理以及实现、复杂度和稳定性分析

1 堆的定义

堆排序（英语：Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

定义：
n个关键字序列L[1…n]称为堆，当且仅当该序列满足:

① L(i)>=L(2i) 且 L(i)>=L(2i+1)或

② L(i)<=L(2i) 且 L(i)<=L(2i+1) (1≤isln/2])

可以将该一维数组视为一棵完全二叉树

大根堆：满足条件① 的堆称为大根堆(大顶堆)，大根堆的最大元素存放在根结点，且其任一非根结点的值小于等于其双亲结点值

对于堆中的元素编号，其实也是逻辑结构映射到数组的一个过程；

小根堆：满足条件2的堆称为小根堆(小顶堆)，小根堆的定义刚好相反，根结点是最小元素

2 堆排序的思路

首先将存放在L[1…n]中的n个元素建成初始堆，由于堆本身的特点(以大顶堆为例)，堆顶元素就是最大值。
输出堆顶元素后，通常将堆底元素送入堆顶，堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大顶堆的性质，再输出堆顶元素。如此重复。

根据数组构建一个完全二叉树
从最后一个非叶节点开始调整，使得子树成为堆
如此重复，直至满足堆的定义

值得注意的是：

大根堆排序结果为升序

小根堆排序结果为降序

这是一个常见的误区！

这是因为：堆使用的时候都是每次把堆顶的元素干掉留下堆内部的元素做成Top N

如果你要找100000中的 TOP100最大的，你用小根堆

如果你要找100000中的 TOP100最小的，你用大根堆

3 代码实现

void BuildMaxHeap(int *arr,int len)
{// 建立初始大根堆 for(int i = (len-1)/2; i >= 0; i--){HeapAdjust(arr,i,len);}
}// 子树调整
void HeapAdjust(int *arr,int k,int len)
{int temp = arr[k]; // 暂存根节点 for(int i = k*2+1;i < len;i = i*2+1){if (i < len-1 && arr[i] < arr[i+1])i++;if (temp >= arr[i])break; // 筛选结束 else {arr[k] = arr[i];k = i; // 继续向下筛选 }}arr[k] = temp ; // 筛选的值放入最终位置
}void HeapSort(int *arr,int len)
{BuildMaxHeap(arr,len);for(int i = len-1;i > 0;i--){    arr[0] = arr[0] ^ arr[i];  arr[i] = arr[0] ^ arr[i]; arr[0] = arr[0] ^ arr[i];HeapAdjust(arr,0,i);}
}

4 堆的输出(删除操作)

堆中根结点的值肯定是最值，不是最大就是最小，往往需要使用到。

即每次都删除第0个数据（根结点）

那么堆中输出根节点之后如何保证堆原有的特性呢？

删除之后，打破了原有规律，需要调整！

删除根结点
将最后一个数据的值赋给根结点
然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整

5 堆的插入操作

对堆进行插入操作时，先将新结点放在堆的末端
随后再向上执行调整操作

6 堆排序的特点

堆排序适合关键字较多的情况(如n>1000)
不适合关键字较少的情况
大根堆排序结果为升序
小根堆排序结果为降序

例如，在1千万个数中选出前100个最大值?
首先使用一个大小为100的数组，读入前100个数，建立小顶堆，而后依次读入余下的数，若小于堆顶则舍弃，否则用该数取代堆顶并重新调整堆，待数据读取完毕，堆中100个数即为所求。

7 性能分析

【空间复杂度】:仅使用常数个辅助单元，空间复杂度为 O(1)

【时间复杂度】:建堆时间为 O(n)，之后有n-1次向下调整操作，每次调整的时间复杂度为 O(h) h表示树高

故在最好、最坏和平均情况下，堆排序的时间复杂度为 O(nlog2n)

【稳定性】:进行筛选时，有可能把后面相同关键字的元素调整到前面，所以堆排序算法是一种不稳定的排序方法