给定一个矩阵m*n，从左上角开始每次只能向右和向下走，最后到右下角的位置共有多少种路径。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*
每次只能向右或向下走
dp[m][n] = dp[m-1][n]+dp[m][n-1];表示走到(m,n)位置的走法
这道题求有多少条路径？那么理所应当想到动态规划。
我们令dp[i][j]是到达i,j最多路径
动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
和上面的公式是一样的
对于第一行dp[0][j]和第一列dp[i][0],由于都是在边界，所以只能为1
时间复杂度O(m*n)
空间复杂度O(m*n)
*/

int uniquePaths(int m,int n)
{
   /*
   dp[i][j]是到达i和j最多的路径
   但是为什么i=0的时候都要弄成1呢？
   因为这是初始化过程最上面和最左边的都是1
   */
   vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
   for(int i = 0;i<m;i++)
       dp[i][0]=1;
   for(int j = 0;j<n;j++)
       dp[0][j]=1;
   for(int i = 1;i<m;i++)
   {
       for(int j = 1;j<n;j++)
       {
           dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
       }
   }
   return dp[m-1][n-1];
}
/*
优化1：
   由于dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],因此只需要保留当前行与上一行的数据(在动态方程中，即pre[j] = dp[i-1][j])，空间复杂度O(2n)
   其实就是：
   当前的状态只跟上一行的状态和同一行左边的状态相关。所以我们只需要维护上一行的数组，和当前行的数组。那么pre就是上一行的状态(整行)，cur就是当前行的状态。
*/
int uniquePaths1(int m,int n)
{
   vector<int>pre(n);
   vector<int>cur(n);
   //初始化把所有的值都填成1
   for(int i = 0;i<n;i++)
   {
       pre[i] = 1;
       cur[i] = 1;
   }
   for(int i = 1;i<m;i++)
   {
       for(int j = 1;j<n;j++)
           cur[j] = cur[j-1]+pre[j];
   }
   return cur[n-1];
}

/*
优化2:
cur[j] += cur[j-1];即cur[j] = cur[j]+cur[j-1];
等价于思路二： cur[j] = pre[j]+cur[j-1];
因此，空间复杂度为O(n)。
*/

int uniquePaths2(int m,int n)
{
   vector<int>cur(n);
   for(int i = 0;i<n;i++)
       cur[i] = 1;
   for(int i=1;i<m;i++)
   {
       for(int j=1;j<n;j++)
       {
           cur[j] += cur[j-1];
       }
   }
   return cur[n-1];

}

int main()
{
   int m = 5,n = 8;
   int num = uniquePaths2(m,n);
   cout<<num<<endl;

system("pause");
return 0;
}

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