数论笔记 · 佩尔方程(连分数)

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佩尔方程实际上并不是佩尔提出的，而是费尔马提出，却被欧拉误记为佩尔提出，因此佩尔方程的名称沿用至今。身为不定方程的特殊一类，佩尔方程与连分数，二次型，代数论等等有着重要的联系，因而是数论中最经典的篇章之一。令d 为非平方数的正整数，那么佩尔方程(Pell Equation)为：

* 连分数 *

在对佩尔方程进行深入了解之前，先来看看与该方程不可分离的连分数：

由于篇幅的原因，通常记为

其中 pn 和 qn 称为连分数之多项式，对于任意的a 均为一次式，它们的比值称为第 n 个渐进值渐进分数。对于渐进值来讲，有着递归关系式：

由数学归纳法可以得到关系式：

在华罗庚的《数论导引》中介绍了连分数一些性质定理，例如：有理数必可表示为有限连分数，无理数的连分数表示法唯一等等。

* 佩尔方程 *

注意到在上述多项式的递归表示中，具有决定多项式数值作用的关键的 an 并没有计算公式。此时回来看佩尔方程，根据数论中的定理：

定理1：对于正整数p、q ，如果有

则比值 p/q 必为 a 的一个渐进值。

因此可以得出推论：对于佩尔方程，其全部的根的集合为：

由递归方程式

可以得到

而判断二次不定方程有解的充分必要条件有下述定理表述：

定理2：二次不定方程

常有解，二次方程

不可解的充要条件为：

根据上述定理，由数学归纳法可以得到关系式：

这样就可以根据 p、q、P、Q 的递归关系式计算出根式形式的无理数的连分数展开。

* 循环连分数 *
循环连分数指的是连分数表达式中存在循环节。根据数论中的基本定理：一个连分数为循环连分数的充分必要条件为此数是一有理系数二次不可化方程的根。因此根式形式的无理数均为循环连分数，且具有独特的性质：

通过循环表示，可以求解得到佩尔方程的最小整数解：

* 佩尔型方程 *

更加复杂的佩尔形式的方程：

假设 p、q 为上述方程的解，考虑其对应的佩尔方程极其基础解系：

则有

当 (p,q) 为包含所有基础解，这样所有的解集由下式递归构成

计算佩尔型方程的互不等价的基本解集主要依赖 PQA 算法和 Lagrange-Matthews-Mollin 算法。

PQA算法：

对佩尔方程做表

各项递归按照佩尔方程递归关系计算得到。其中各项初始值为： a 的初始值 a0 相当于佩尔方程中的 a1 ，p0 = a0 * Q0 - P0 ，q0 = 1 ，p1 = a1 * p0 + Q0 ，q1 = a1 。表的递归计算到Q 的第一个周期或者 |Q|=1 。值得注意的是，此时 a 的递归方程式中，a0 不能先取整，因为若K是负数，则会导致错误的计算。

这样就可以进行佩尔型方程基本解集的计算：按照 K^2 和 D 的关系有：

CASE K^2<D

P0 = 0 ，Q0 = 1 作为初始值带入 PQA 算法，当 Kn = K 时得到所有基本解集。

CASE K^2>D : LMM Algorithm

When f>0 , listm = K / f^2

For each m , find all z ：-|m|/2 <z <= |m|/2,and z^2 = D modulo |m|

For each z ， P0 = z ，Q0 = |m| as initial value inPQA algorithm：

If Qn+1 * sign(m) = 1 , thenf*(Pn,Qn) is solution.

If Qn+1 * sign(m) = -1 , thenf*(Pn,Qn) is solution ofx^2 - Dy^2 = -K .

If x^2 - Dy^2 = -1 has primitive solution(u,v) , then f*(uPn+DvQn,vPn+uQn) is solution.

根据递归，该基本解集的每一个元素都可以产生无穷的解集，综合起来就是佩尔型方程的解集。

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