佩尔方程讲解连接：

若一个丢番图方程具有以下的形式：

且

为正整数，则称此方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若

是完全平方数，则这个方程式只有解

(实际上对任意的

，

都是解)。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由

的连分数求出。

设

 是

的连分数表示:

的渐近分数列，由连分数理论知存在

 使得(pi,qi) 为佩尔方程的解。取其中最小的

，将对应的 (pi,qi) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x1,y1) ，则所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式：

或者由以下递推公式得到：

——————————————————分割线————————————————————

求得佩尔方程最小正整数解后，由公式

及

可求得第k解(X1，Y1为最小正整数解)。

到这里你可能会想用递归的方法求解Xk及Yk。可是事实上如果k的值很大的话，就会花费好多时间。所以在这里求解的时候，用矩阵快速幂便可节约很多时间。

现在构造矩阵，如下图

swun oj 里的一题，请参考，以便理解

#include

#include

#include

using namespace std;

typedef __int64 ll;

#define Mod 1000000007

ll x,y,n,k;

struct PellAns

{

ll p,q;

};

struct Node

{

ll g,h;

};

struct Matrix

{

ll a[2][2];

void init()

{

a[0][0]=x%Mod;a[0][1]=y%Mod;

a[1][0]=(n%Mod*y%Mod%Mod)%Mod;a[1][1]=x%Mod;

}

};

//矩阵乘法

Matrix matrix_mul(Matrix a,Matrix b)

{

ll i,j,k;

Matrix ans;

for(i=0;i<2;i++)

{

for(j=0;j<2;j++)

{

ans.a[i][j]=0;

for(k=0;k<2;k++)

ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]%Mod+(a.a[i][k]%Mod*b.a[k][j]%Mod)%Mod)%Mod;

}

}

return ans;

}

//矩阵快速幂

Matrix mult(Matrix a,ll b)

{

Matrix ans;

ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;

ans.a[1][0]=0;ans.a[1][1]=1;

while(b)

{

if(b & 1)

ans=matrix_mul(ans,a);

b>>=1;

//cout<

a=matrix_mul(a,a);

}

return ans;

}

//求佩尔方程最小正整数解...模板

PellAns Solve( ll n1)

{

PellAns s[4];

Node w[4];

int a[4];

s[0].p=0; s[0].q=1;

s[1].p=1; s[1].q=0;

a[0]=(ll)floor(sqrt( (double)n ));

a[2]=a[0];

w[1].g=0;w[1].h=1;

while( 1 )

{

w[2].g = -w[1].g+a[2]*w[1].h;

w[2].h = (n1-w[2].g*w[2].g)/w[1].h;

a[3] = (ll)floor( (double)(w[2].g+a[0])/w[2].h );

s[2].p = a[2]*s[1].p+s[0].p;

s[2].q = a[2]*s[1].q+s[0].q;

if( (s[2].p*s[2].p-n1*s[2].q*s[2].q) == 1 &&s[2].p>0&&s[2].q>0 )

return s[2];

w[0]=w[1];w[1]=w[2];

a[2]=a[3];

s[0]=s[1];s[1]=s[2];

}

}

int main()

{

PellAns ans;

// freopen("a.in","r",stdin);

//freopen("1.out","w",stdout);

while( ~scanf("%I64d%I64d",&n,&k) )

{

if(sqrt(double(n))*sqrt(double(n))==n) {

printf("No solution\n");continue;

}

ans = Solve(n);//求得佩尔方程最小正整数解

x=ans.p%Mod,y=ans.q%Mod;

Matrix tmp,ans1;

tmp.init(); //初始化

ans1=mult(tmp,(k-1)%Mod);

ll x1=x%Mod;

x=((ans1.a[0][0]%Mod*x%Mod)%Mod+(ans1.a[1][0]%Mod*y%Mod)%Mod)%Mod;

y=((ans1.a[0][1]%Mod*x1%Mod)+(ans1.a[1][1]%Mod*y%Mod)%Mod)%Mod;

printf("%I64d,%I64d %I64d,%I64d\n",ans.p,ans.q,x%Mod,y%Mod);

}

return 0;

}