前言

这是一篇欠了半年多的博客，期间笔者遇到了诸多类似问题，故决定做出总结性结论。

标准型佩尔方程

形如x2−Dy2=1(D>0)x^2-Dy^2=1(D>0)x2−Dy2=1(D>0)的方程，即为标准型佩尔方程。

性质

1.容易得到，{x=±1y=0\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}{x=±1y=0必是该方程的解。
若DDD为平方数，则只有这种解，反之则有无数多组解。
证明略，见百度百科。
2.若一组解(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)是非(±1,0)(\pm1,0)(±1,0)的最小正整数解(即DDD为非平方数)，则{xn=xn−1x1+Dyn−1y1yn=xn−1y1+yn−1x1\begin{cases}x_n=x_{n-1}x_1+Dy_{n-1}y_1\\y_n=x_{n-1}y_1+y_{n-1}x_1\end{cases}{xn=xn−1x1+Dyn−1y1yn=xn−1y1+yn−1x1
或者可以写成xn+Dyn=(x1+Dy1)nx_n+\sqrt{D}y_n=(x_1+\sqrt{D}y_1)^{n}xn+Dyn=(x1+Dy1)n
或者写成
xn=(x1+Dy1)n+(x1−Dy1)n2x_n=\frac{(x_1+\sqrt{D}y_1)^n+(x_1-\sqrt{D}y_1)^n}{2}xn=2(x1+Dy1)n+(x1−Dy1)n
yn=(x1+Dy1)n−(x1−Dy1)n2Dy_n=\frac{(x_1+\sqrt{D}y_1)^n-(x_1-\sqrt{D}y_1)^n}{2\sqrt{D}}yn=2D(x1+Dy1)n−(x1−Dy1)n
该式子可以表示为(xnyn)=(x1Dy1y1x1)n−1(x1y1)\begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 & Dy_1\\ y_1 & x_1\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\end{pmatrix}(xnyn)=(x1y1Dy1x1)n−1(x1y1)的矩阵形式，因此可以利用矩阵快速幂求出第nnn大的解。
证明略，见佩尔方程维基百科

求最小解

在DDD不为平方数的情况下，如何解出(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)成为了解决问题最关键的地方。
当然，在DDD不大的情况下，我们显然可以暴力求解。

暴力写法

void pell(int &a,int &b,int d)//暴力寻找pell方程最小解
{b=1;while(true){a=(LL)sqrt(d*b*b+1);if(a*a-d*b*b==1)break;b++;}
}

显然在很多时候，这种方法太慢了，而且对于某些问题上，x1x_1x1,y1y_1y1可能很大，为此，我们引入连分数。

连分数写法

连分数的相关性质与定理参考可以看这里
对于连分数a0+1a1+1a2+...=pqa_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+...}}=\frac{p}{q}a0+a1+a2+...11=qp，我们将其记作[a0;a1,a2,...]=pq[a_0;a_1,a_2,...]=\frac{p}{q}[a0;a1,a2,...]=qp
我们记算sqrt(D)sqrt(D)sqrt(D)的渐进连分式hk\frac{h}{k}kh，并将h2−Dk2h^2-Dk^2h2−Dk2代入验证，直到h2−Dk2=1h^2-Dk^2=1h2−Dk2=1
例如，我们计算x2−7x2=1x^2-7x^2=1x2−7x2=1
(7)=2.64575=2+0.64575，10.64575=1.54858\sqrt(7)=2.64575=2+0.64575，\frac{1}{0.64575}=1.54858(7)=2.64575=2+0.64575，0.645751=1.54858，取整数部分2，得到21\frac{2}{1}12，代入发现不是解
1.54858=1+0.54858，10.54858=1.822881.54858=1+0.54858，\frac{1}{0.54858}=1.822881.54858=1+0.54858，0.548581=1.82288，取整数1，得到2+11=312+\frac{1}{1}=\frac{3}{1}2+11=13，代入发现不是解
1.82288=1+0.82288，10.82288=1.215241.82288=1+0.82288，\frac{1}{0.82288}=1.215241.82288=1+0.82288，0.822881=1.21524，取整数1，得到2+11+11=522+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{5}{2}2+1+111=25，代入发现不是解
1.21524=1+0.21524，10.21524=4.645971.21524=1+0.21524，\frac{1}{0.21524}=4.645971.21524=1+0.21524，0.215241=4.64597，取整数1，得到2+11+11+11=832+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=\frac{8}{3}2+1+1+1111=38，代入发现是解。
故最小正整数解为(8,3)(8,3)(8,3)
（代码待补充，咕咕咕）

例题

我们定义三条边是连续正整数t−1,t,t+1t-1,t,t+1t−1,t,t+1，且面积也是正整数的三角形为“G三角形”，
给定一个数nnn，求出t<=n(1≤n≤1e18)t<=n(1\leq n \leq 1e18)t<=n(1≤n≤1e18)的所有的满足条件的三角形个数

注意到xnx_nxn是一阶线性递推式，呈指数级增长，因此只需要事前打表即可。代码略。

非标准型佩尔方程

对于方程x2−Dy2=k(D>0)x^2-Dy^2=k(D>0)x2−Dy2=k(D>0)
1.先找到第一组解（暴力或者连分数），记为(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)
2.定义标准型佩尔方程r2−Ds2=1r^2-Ds^2=1r2−Ds2=1
3.利用婆罗摩笈多恒等式得到
k=k∗1=(x02−Dy02)(r2−Ds2)=(x0r+Dy0s)2−D(x0s+y0r)2k=k*1=(x_{0}^{2}-Dy_0^2)(r^2-Ds^2)=(x_0r+Dy_0s)^2-D(x_0s+y_0r)^2k=k∗1=(x02−Dy02)(r2−Ds2)=(x0r+Dy0s)2−D(x0s+y0r)2
即x=x0r+Dy0s,y=x0s+y0rx=x_0r+Dy_0s,y=x_0s+y_0rx=x0r+Dy0s,y=x0s+y0r
而r,sr,sr,s可以利用标准型求解，从而得到x,yx,yx,y的解。

额外证明

事实上，(x02−Dy02)(r2−Ds2)=(x0r±Dy0s)2−D(x0s±y0r)2(x_{0}^{2}-Dy_0^2)(r^2-Ds^2)=(x_0r\pm Dy_0s)^2-D(x_0s\pm y_0r)^2(x02−Dy02)(r2−Ds2)=(x0r±Dy0s)2−D(x0s±y0r)2，证明略。
为什么只选择了加号？接下来讨论x0r−Dy0sx_0r-Dy_0sx0r−Dy0s的符号的不确定性。
对于f(s)=x0r−Dy0s=x01+Ds2−Dy0sf(s)=x_0r-Dy_0s=x_0\sqrt{1+Ds^2}-Dy_0sf(s)=x0r−Dy0s=x01+Ds2−Dy0s
f′(s)=122x0Ds1+Ds2−Dy0f'(s)=\frac{1}{2}\frac{2x_0Ds}{\sqrt{1+Ds^2}}-Dy_0f′(s)=211+Ds22x0Ds−Dy0
=x0Ds1+Ds2−Dy0≤x0−Dy0=\frac{x_0Ds}{\sqrt{1+Ds^2}}-Dy_0\leq x_0-Dy_0=1+Ds2x0Ds−Dy0≤x0−Dy0
因为x0−Dy0x_0-Dy_0x0−Dy0与x2−Dy2x^2-Dy^2x2−Dy2，也就是kkk的符号相同，讨论符号后，计算f(s)>0f(s)>0f(s)>0的区间，这部分也是解！
部分题目中为了方便，通常让k<0k<0k<0，且f′(s)<0f'(s)<0f′(s)<0或最小的正整数解(r0,s0)(r_0,s_0)(r0,s0)代入f(s)f(s)f(s)也是负数，即该部分无解！
x0s±y0rx_0s\pm y_0rx0s±y0r略，证明同理。

求解没有xy项的二元二次丢番图方程

对于没有xy项的二元二次丢番图方程Ax2+Bx+Cy2+Dy+E=0Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+E=0Ax2+Bx+Cy2+Dy+E=0
我们配方后得到类似如下的式子x2+Dy2=Ex^2+Dy^2=Ex2+Dy2=E
之后再用推广佩尔方程求解即可。
这里贴一个我以前遇到过的题目。

例题

对于正整数m,nm,nm,n，满足2m(m+1)=n(n+1)2m(m+1)=n(n+1)2m(m+1)=n(n+1)，求不大于l(1≤l≤1e18)l(1\leq l \leq 1e18)l(1≤l≤1e18)的最大的nnn。

得到nnn的递推式之后，不难发现二阶线性递推式的增长呈指数爆炸，因此只需要快速打表出前若干个即可。代码略。

后记

佩尔方程是个冷门，但一旦考察时很灵活的类型，希望各位读者可以掌握。
对于部分包含xyxyxy项的二元二次丢番图方程，可以先用一些特殊方法配方为不包含改项的式子，具体以后有精力再来展开讨论。
DrGilbert 2021.4.19
upd:2021.7.7：修复部分描述问题

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