[codeforces 718E]Matvey's Birthday

题目大意

给定一个长度为n的字符串，字符集大小为8。两个点i,j之间有权值为1的边当且仅当满足以下条件之一
1. |i-j|=1
2. si=sj

求图的直径和多少个有序点对之间的最短路长度等于直径

2≤n≤100000

分析

好题
设dist(i,j)dist(i,j)表示点i到点j的最短距离，Dist(i,c)Dist(i,c)表示点i到字符c的最短距离。
易得dist(i,j)=min(|i−j|,Dist(i,c)+Dist(j,c)+1）dist(i,j)=min ( |i-j|,Dist(i,c)+Dist(j,c)+1 ）
由于字符集大小为8，观察上式，容易证明最短路长度不超过15。于是对于|i−j|>15|i-j|>15的点对，我们发现dist(i,j)=min(Dist(i,c)+Dist(j,c)+1)dist(i,j)=min(Dist(i,c)+Dist(j,c)+1)

首先我们可以枚举c，然后通过bfs得到数组Dist[][c]Dist[][c]。
接下来设D(p,q)D(p,q)表示字符p到字符q的最短距离，易得对于任意i，有D(si,c)≤Dist(i,c)≤D(si,c)+1D(si,c)≤Dist(i,c)≤D(si,c)+1

那么再设Mask(i)Mask(i)，这是个二进制状态，第c位表示Dist(i,c)−D(si,c)Dist(i,c)-D(si,c)
那么Dist(i,c)+Dist(j,c)+1=Dist(i,c)+D(sj,c)+Mask(j)c+1Dist(i,c)+Dist(j,c)+1=Dist(i,c)+D(sj,c)+Mask(j)_c+1
我们在计算|i−j|>15|i-j|>15的答案时，枚举i，同时维护一个数组f[c][mask]f[c][mask]，表示字符是c，Mask是mask的位置j有多少个。然后可以枚举c和mask并计算距离。
|i−j|≤15|i-j|≤15的点对直接枚举即可

时间复杂度O(n∗82∗28)O(n*8^2*2^{8})

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))using namespace std;const int N=1e5+30,M=256,C=8,mx=15,INF=1e8;typedef long long LL;int n,Dist[N][C],D[C][C],Mask[N],f[C][M],ans,Data[N],tot;LL sum;char S[N];void bfs(int c)
{Data[tot=1]=n+c; Dist[n+c][c]=-1;for (int i=1,j,x;i<=tot;i++){x=Data[i];if (x<n){if (x>0 && Dist[x-1][c]>INF){Dist[x-1][c]=Dist[x][c]+1; Data[++tot]=x-1;if (Dist[S[x-1]+n][c]>INF){Dist[S[x-1]+n][c]=Dist[x][c]+1; Data[++tot]=S[x-1]+n;}}if (x<n-1 && Dist[x+1][c]>INF){Dist[x+1][c]=Dist[x][c]+1; Data[++tot]=x+1;if (Dist[S[x+1]+n][c]>INF){Dist[S[x+1]+n][c]=Dist[x][c]+1; Data[++tot]=S[x+1]+n;}}}else{for (j=0;j<n;j++) if (S[j]+n==x && Dist[j][c]>INF){Dist[j][c]=Dist[x][c]+1; Data[++tot]=j;}}}
}int main()
{scanf("%d%s",&n,S);for (int i=0;i<n;i++) S[i]-='a';memset(Dist,42,sizeof(Dist));memset(D,42,sizeof(D));for (int i=0;i<C;i++) bfs(i);for (int i=0;i<n;i++) for (int j=0;j<C;j++) D[S[i]][j]=min(D[S[i]][j],Dist[i][j]);for (int i=0;i<n;i++) for (int j=C-1;j>=0;j--) Mask[i]=(Mask[i]<<1)|Dist[i][j]-D[S[i]][j];for (int i=mx;i<n;i++) f[S[i]][Mask[i]]++;for (int i=0,dist;i<n;i++){if (i+mx<n) f[S[i+mx]][Mask[i+mx]]--;for (int c=0;c<C;c++){for (int mask=M-1;mask>=0;mask--) if (f[c][mask]>0){dist=mx;for (int c_=0;c_<C;c_++) dist=min(dist,Dist[i][c_]+D[c][c_]+((mask&(1<<c_))>0)+1);if (dist>ans) ans=dist,sum=0;if (dist==ans) sum+=f[c][mask];}}if (i>=mx) f[S[i-mx]][Mask[i-mx]]++;for (int j=max(0,i-mx);j<=min(n-1,i+mx);j++){dist=abs(i-j);for (int c_=0;c_<C;c_++) dist=min(dist,Dist[i][c_]+Dist[j][c_]+1);if (dist>ans) ans=dist,sum=0;if (dist==ans) sum++;}}printf("%d %lld\n",ans,sum>>1);return 0;
}

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