微分几何笔记（２）：微分流形的例子

我们知道[公式]中存在一个整体的坐标系，使得每个点都有一个坐标与之一一对应，大学之前学习的几何内容，都是在[公式]空间中处理问题。但是存在一些空间，在其上不存在一个整体的坐标系，如三维空间中的球面：[公式]。要想在其上处理问题，就需要将其分为若干个部分，在每个部分上建立坐标系，这就引出了微分流形的概念。

刚接触微分流形的概念理解起来还是比较困难，因此找来一些具体的例子，可以帮助大家理解微分流形的概念。

微分流形

例１： nnn维球面Sn={(x1,…,xn+1)∈Rn+1∣∑i=1n+1xi2=1}\mathrm{S}^n=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in \mathrm{R}^{n+1}|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\}Sn={(x1,…,xn+1)∈Rn+1∣i=1∑n+1xi2=1}是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

证明： 取Sn\mathrm{S}^nSn的拓扑为其作为Rn+1\mathrm{R}^{n+1}Rn+1子空间的拓扑，则Sn\mathrm{S}^nSn是Hausdorff拓扑空间。令
Ui+={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi>0}Ui−={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi<0}U_i^+=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i>0\}\\ U_i^-=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i<0\} Ui+={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi>0}Ui−={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi<0}

φi+:Ui+→Rn,(x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)φi−:Ui−→Rn,(x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)\varphi_i^+:U_i^+\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})\\ \varphi_i^-:U_i^-\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1}) φi+:Ui+→Rn, (x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)φi−:Ui−→Rn, (x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)

其中i=1,2,…,n+1i=1,2,\dots,n+1i=1,2,…,n+1，则φi+\varphi_i^+φi+与φi−\varphi_i^-φi−都是可逆映射，有
(φi+)−1:φ(Ui+)→Ui+,(x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,1−∑j=1nxj2,xi,…,xn)(φi−)−1:φ(Ui−)→Ui−,(x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,−1−∑j=1nxj2,xi,…,xn).(\varphi_i^+)^{-1}:\varphi(U_i^+)\to U_i^+,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n)\\ (\varphi_i^-)^{-1}:\varphi(U_i^-)\to U_i^-,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},-\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n). (φi+)−1:φ(Ui+)→Ui+, (x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,1−j=1∑nxj2,xi,…,xn)(φi−)−1:φ(Ui−)→Ui−, (x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,−1−j=1∑nxj2,xi,…,xn).
考虑映射
φ2−(φ1+)−1:φ1+(U1+∩U2−)→φ2−(U1+∩U2−)(x1,…,xn)↦(1−∑j=1nxj2,x2,…,xn),\varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}:\varphi_1^+(U_1^+\cap U_2^-)\to\varphi_2^-(U_1^+\cap U_2^-)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_2,\dots,x_n), φ2−(φ1+)−1:φ1+(U1+∩U2−)→φ2−(U1+∩U2−)(x1,…,xn)↦(1−j=1∑nxj2,x2,…,xn),
可知φ2−(φ1+)−1\varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}φ2−(φ1+)−1是C∞C^\inftyC∞映射，因此坐标图(U1+,φ1+)(U_1^+,\varphi_1^+)(U1+,φ1+)与(U2−,φ2−)(U_2^-,\varphi_2^-)(U2−,φ2−)是C∞C^\inftyC∞相容的。同理可得坐标图册{(Ui±,φi±)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)|i=1,2,\dots,n+1\}{(Ui±,φi±)∣i=1,2,…,n+1}是C∞C^\inftyC∞相容坐标图册，因此唯一确定Sn\mathrm{S}^nSn上的C∞C^\inftyC∞微分结构，因此Sn\mathrm{S}^nSn是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

例２： 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nRPn是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

证明： 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nRPn是Hausdorff空间。令X=Rn+1−0X=\mathrm{R}^{n+1}-{0}X=Rn+1−0，在XXX上定义等价关系∼\sim∼：对∀x,y∈X\forall x,y\in X∀x,y∈X，x∼yx\sim yx∼y当且仅当存在t∈Rt\in\mathrm{R}t∈R且t>0t>0t>0使得y=txy=txy=tx，则RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nRPn即为X/∼X/\simX/∼.令
Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi≠0},i=1,2,…,n+1U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1 Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi=0}, i=1,2,…,n+1
其中[x][x][x]表示x∈Xx\in Xx∈X关于等价关系∼\sim∼的等价类。令(x1,…,xn+1)∈X(x_1,\dots,x_{n+1})\in X(x1,…,xn+1)∈X且xi≠0x_i\ne 0xi=0，对∀(y1,…,yn+1)∈X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X∀(y1,…,yn+1)∈X，可知
(x1xi,…,xn+1xi)=(y1yi,…,yn+1yi)⟺(x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)(\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1}) (xix1,…,xixn+1)=(yiy1,…,yiyn+1)⟺(x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)
因此，下面的映射φi\varphi_iφi是良定义的单射
φi:Ui→Rn,[(x1,…,xn+1)]↦(x1xi,…,xi−1xi,xi+1xi,…,xn+1xi),i=1,2,…,n+1.\varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1. φi:Ui→Rn, [(x1,…,xn+1)]↦(xix1,…,xixi−1,xixi+1,…,xixn+1), i=1,2,…,n+1.
因此φi\varphi_iφi存在逆映射
φi−1:φi(Ui)→Ui,(x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].\varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})]. φi−1:φi(Ui)→Ui, (x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].
考虑映射
φ2(φ1)−1:φ1(U1∩U2)→φ2(U1∩U2)(x1,…,xn)↦(1x1,x2x1,…,xnx1),\varphi_2(\varphi_1)^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\frac{1}{x_1},\frac{x_2}{x_1},\dots,\frac{x_{n}}{x_1}), φ2(φ1)−1:φ1(U1∩U2)→φ2(U1∩U2)(x1,…,xn)↦(x11,x1x2,…,x1xn),
可知φ2(φ1)−1\varphi_2(\varphi_1)^{-1}φ2(φ1)−1是C∞C^\inftyC∞映射，因此坐标图(U1,φ1)(U_1,\varphi_1)(U1,φ1)与(U2,φ2)(U_2,\varphi_2)(U2,φ2)是C∞C^\inftyC∞相容的。同理可得坐标图册{(Ui,φi)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i,\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}{(Ui,φi)∣i=1,2,…,n+1}是RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nRPn的C∞C^\inftyC∞相容坐标图册，因此RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nRPn是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

例３： 复射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCPn是2n2n2n维C∞C^\inftyC∞微分流形。

证明： 实射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCPn是Hausdorff空间。令X=Cn+1−0X=\mathrm{C}^{n+1}-{0}X=Cn+1−0，在XXX上定义等价关系∼\sim∼：对∀x,y∈X\forall x,y\in X∀x,y∈X，x∼yx\sim yx∼y当且仅当存在t∈Ct\in\mathrm{C}t∈C且t>0t>0t>0使得y=txy=txy=tx，则CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCPn即为X/∼X/\simX/∼.令
Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi≠0},i=1,2,…,n+1U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1 Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi=0}, i=1,2,…,n+1
其中[x][x][x]表示x∈Xx\in Xx∈X关于等价关系∼\sim∼的等价类。令(x1,…,xn+1)∈X(x_1,\dots,x_{n+1})\in X(x1,…,xn+1)∈X且xi≠0x_i\ne 0xi=0，对∀(y1,…,yn+1)∈X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X∀(y1,…,yn+1)∈X，可知
(x1xi,…,xn+1xi)=(y1yi,…,yn+1yi)⟺(x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)(\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1}) (xix1,…,xixn+1)=(yiy1,…,yiyn+1)⟺(x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)
因此，下面的映射φi\varphi_iφi是良定义的单射
φi:Ui→Rn,[(x1,…,xn+1)]↦(x1xi,…,xi−1xi,xi+1xi,…,xn+1xi),i=1,2,…,n+1.\varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1. φi:Ui→Rn, [(x1,…,xn+1)]↦(xix1,…,xixi−1,xixi+1,…,xixn+1), i=1,2,…,n+1.
因此φi\varphi_iφi存在逆映射
φi−1:φi(Ui)→Ui,(x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].\varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})]. φi−1:φi(Ui)→Ui, (x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].
令π:C→R2,x+yi↦(x,y)\pi:\mathrm{C}\to \mathrm{R}^2,\ x+y\mathrm{i}\mapsto (x,y)π:C→R2, x+yi↦(x,y)，显然π\piπ是C∞C^\inftyC∞同胚，因此πφi\pi\varphi_iπφi是UiU_iUi到πφi(Ui)∈R2n\pi\varphi_i(U_i)\in \mathrm{R}^{2n}πφi(Ui)∈R2n的C∞C^\inftyC∞微分同胚映射，考虑映射
πφ2(πφ1)−1:πφ1(U1∩U2)→πφ2(U1∩U2)(π(x1),…,π(xn))↦(π(1x1),π(x2x1),…,π(xnx1)),\pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}:\pi\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \pi\varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (\pi(x_1),\dots,\pi(x_n))\mapsto (\pi(\frac{1}{x_1}),\pi(\frac{x_2}{x_1}),\dots,\pi(\frac{x_{n}}{x_1})), πφ2(πφ1)−1:πφ1(U1∩U2)→πφ2(U1∩U2)(π(x1),…,π(xn))↦(π(x11),π(x1x2),…,π(x1xn)),
可知πφ2(πφ1)−1\pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}πφ2(πφ1)−1是C∞C^\inftyC∞映射，因此坐标图(U1,πφ1)(U_1,\pi\varphi_1)(U1,πφ1)与(U2,πφ2)(U_2,\pi\varphi_2)(U2,πφ2)是C∞C^\inftyC∞相容的。同理可得坐标图册{(Ui,πφi)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i,\pi\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}{(Ui,πφi)∣i=1,2,…,n+1}是CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCPn的C∞C^\inftyC∞相容坐标图册，因此CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCPn是2n2n2n维C∞C^\inftyC∞微分流形。

积流形： 令MMM和NNN分别是mmm维和nnn维CkC^kCk微分流形，它们的微分结构分别为{(Ui,φi)∣i∈I}\{(U_i,\varphi_i)|i\in I\}{(Ui,φi)∣i∈I}和{(Vj,ϕj)∣j∈J}\{(V_j,\phi_j)|j\in J\}{(Vj,ϕj)∣j∈J}，III和JJJ分别是相应的指标集。显然，{(Ui×Vj)∣i∈I,j∈J}\{(U_i\times V_j)|i\in I,j\in J\}{(Ui×Vj)∣i∈I,j∈J}是拓扑空间M×NM\times NM×N的开覆盖。定义映射
φi×ϕj:Ui×Vj→Rm×Rn=Rm+n(p,q)↦(φi(p),ϕj(q)),(p,q)∈Ui×Vj⊂M×N,\varphi_i\times \phi_j:U_i\times V_j\to\mathrm{R}^m\times\mathrm{R}^n=\mathrm{R}^{m+n}\\ (p,q)\mapsto(\varphi_i(p),\phi_j(q)),\ (p,q)\in U_i\times V_j\subset M\times N, φi×ϕj:Ui×Vj→Rm×Rn=Rm+n(p,q)↦(φi(p),ϕj(q)), (p,q)∈Ui×Vj⊂M×N,
则容易证明{(Ui×Vj,φi×ϕj)∣i∈I,j∈J}\{(U_i\times V_j,\varphi_i\times\phi_j)|i\in I,j\in J\}{(Ui×Vj,φi×ϕj)∣i∈I,j∈J}是M×NM\times NM×N的CkC^kCk相容坐标图册，因此M×NM\times NM×N是m+nm+nm+n维CkC^kCk微分流形。此时，称M×NM\times NM×N是MMM和NNN的积流形。

例４： nnn维环面Tn=S1×…,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1Tn=S1×…,×S1，是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

证明： Tn=S1×…,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1Tn=S1×…,×S1是nnn个圆环S1\mathrm{S}^1S1的积空间，而S1\mathrm{S}^1S1是１１１维C∞C^\inftyC∞微分流形。因此，根据积流形的定义，容易验证Tn\mathrm{T}^nTn是nnn维C∞C^\inftyC∞微分流形。

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