CodeForces 718E Matvey’s Birthday

题目大意

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今天与 CF 的连接怎么这么稳定？？？

给定一个长度为NNN的字符串sss，字符集为小写字母aaa到hhh，我们可以按照如下方式构造出一个无向图：

若∣i−j∣≤1|i-j|\le 1∣i−j∣≤1，则在点iii和点jjj之间连一条长度为111的边；
若si=sjs_i=s_jsi=sj，则在点iii和点jjj之间连一条长度为111的边。

若d(i,j)d(i,j)d(i,j)为i,ji,ji,j之间的最短路径，则定义这张图的直径为max⁡1≤i,j≤N,i≠j{d(i,j)}\max_{1\le i,j\le N,i\neq j}\{d(i,j)\}max1≤i,j≤N,i=j{d(i,j)}。

求这张图的直径和d(i,j)d(i,j)d(i,j)等于直径的点对数量。

分析

结论： d(i,j)d(i,j)d(i,j)是不会超过151515的。

证明： 我们可以发现，在从iii到jjj的最短路径上，一种字母一定不会出现超过两次。若出现了多于两次的字母，我们可以发现只需经过原来路径上的第一个和最后一个（因为它们直接有边相连）就可以使得路径变短。这样，由于最多只有888种字母，则最长的长度为2×8−1=152\times 8-1=152×8−1=15。

则我们考虑定义f(i,j)f(i,j)f(i,j)为从iii出发，到达某个颜色是jjj的位置的最短距离，这个可以用 BFS 做出来。这部分比较简单就不详细解释了。

考虑如何用f(i,j)f(i,j)f(i,j)来表示d(i,j)d(i,j)d(i,j)：

只经过第一种类型的边（即∣i−j∣≤1|i-j|\le 1∣i−j∣≤1时连上的边），这样这个距离就是∣i−j∣|i-j|∣i−j∣；
经过第二种类型的边，我们可以考虑通过某个颜色为ccc中转点，这样这个距离就是f(i,c)+1+f(j,c)f(i,c)+1+f(j,c)f(i,c)+1+f(j,c)。

综上：

d(i,j)=min⁡(∣i−j∣,min⁡1≤c≤8{f(i,c)+f(j,c)+1})d(i,j)=\min(|i-j|,\min_{1\le c\le 8}\{f(i,c)+f(j,c)+1\}) d(i,j)=min(∣i−j∣,1≤c≤8min{f(i,c)+f(j,c)+1})

这样一来我们就可以在O(N2)O(N^2)O(N2)的时间内求出d(i,j)d(i,j)d(i,j)。

但是NNN有10510^5105，我们不能够直接暴力。

考虑计算一个新的值g(i,j)g(i,j)g(i,j)表示从某个颜色为iii的节点到某个颜色为jjj的节点的最短距离，这个值可以在做 BFS 时顺带着算了。

对于∣i−j∣≤15|i-j|\le 15∣i−j∣≤15的情况，我们直接采用暴力。

但对于∣i−j∣>15|i-j|>15∣i−j∣>15时，我们可以发现，f(i,c)f(i,c)f(i,c)不是等于g(si,c)g(s_i,c)g(si,c)就是等于g(si,c)+1g(s_i,c)+1g(si,c)+1，又由于ccc只有最多888情况，所以我们可以将这个压成一个集合SSS，若SSS的第ccc位为000则表示f(i,c)=g(si,c)f(i,c)=g(s_i,c)f(i,c)=g(si,c)，反之就表示f(i,c)=g(si,c)+1f(i,c)=g(s_i,c)+1f(i,c)=g(si,c)+1。

那么我们可以再用O(N222N)O(N^22^{2N})O(N222N)的复杂度来做一个预处理。设h(i,j,S1,S2)h(i,j,S_1,S_2)h(i,j,S1,S2)表示一个颜色为iii、状态为S1S_1S1和另外一个颜色为jjj、状态为S2S_2S2时的点的合并时的最小结果。

那么我们在统计答案时直接调用我们计算出来的hhh即可。

总时间复杂度为O(8N+83×22N+8N×2N)O(8N+8^3\times 2^{2N}+8N\times 2^N)O(8N+83×22N+8N×2N)。

参考代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef long long ll;
const int Maxn = 100000;
const int Maxk = 8;int N;
char s[Maxn + 5];int f[Maxn + 5][Maxk + 5];
int g[Maxk + 5][Maxk + 5];
vector<int> p[Maxk + 5];void BFS(int col) {static bool vis[Maxn + Maxk + 5];memset(vis, false, sizeof vis);queue<int> q;for(int j = 0; j < (int)p[col].size(); j++)q.push(p[col][j]), vis[p[col][j]] = true, f[p[col][j]][col] = 0;g[col][col] = 0, vis[N + col] = true;while(!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();if(u != 1 && !vis[u - 1]) {vis[u - 1] = true, q.push(u - 1);f[u - 1][col] = f[u][col] + 1;}if(u != N && !vis[u + 1]) {vis[u + 1] = true, q.push(u + 1);f[u + 1][col] = f[u][col] + 1;}if(vis[N + (int)s[u] - 'a' + 1]) continue;vis[N + (int)s[u] - 'a' + 1] = true;g[s[u] - 'a' + 1][col] = f[u][col];for(int i = 0; i < (int)p[s[u] - 'a' + 1].size(); i++) {int v = p[s[u] - 'a' + 1][i];if(vis[v]) continue;f[v][col] = f[u][col] + 1;vis[v] = true, q.push(v);}}
}int cnt[Maxk + 5][(1 << Maxk) + 5];
int dis[Maxk + 5][Maxk + 5][(1 << Maxk) + 5][(1 << Maxk) + 5];
int st[Maxn + 5];int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifscanf("%d", &N);scanf("%s", s + 1);for(int i = 1; i <= N; i++)p[s[i] - 'a' + 1].push_back(i);memset(f, 0x3f, sizeof f);memset(g, 0x3f, sizeof g);for(int i = 1; i <= Maxk; i++)BFS(i);memset(dis, 0x3f, sizeof dis);for(int col1 = 1; col1 <= 8; col1++)for(int col2 = 1; col2 <= col1; col2++)for(int s1 = 0; s1 < (1 << 8); s1++)for(int s2 = 0; s2 < (1 << 8); s2++) {for(int col3 = 1; col3 <= 8; col3++)dis[col1][col2][s1][s2] = min(dis[col1][col2][s1][s2],g[col1][col3] + g[col2][col3] + ((s1 >> (col3 - 1)) & 1)+ ((s2 >> (col3 - 1)) & 1) + 1);dis[col2][col1][s2][s1] = dis[col1][col2][s1][s2];}int ans = 0;ll sum = 0;for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = max(1, i - 15); j < i; j++) {int tmp = i - j;for(int col = 1; col <= 8; col++)tmp = min(tmp, f[i][col] + f[j][col] + 1);if(ans < tmp) ans = tmp, sum = 0;if(ans == tmp) sum++;}for(int col = 1; col <= 8; col++)st[i] |= (f[i][col] - g[s[i] - 'a' + 1][col]) << (col - 1);for(int col = 1; col <= 8; col++)for(int j = 0; j < (1 << 8); j++)if(cnt[col][j]) {int tmp = dis[col][s[i] - 'a' + 1][j][st[i]];if(ans < tmp) ans = tmp, sum = 0;if(ans == tmp) sum += cnt[col][j];}if(i > 15) cnt[s[i - 15] - 'a' + 1][st[i - 15]]++;}printf("%d %lld\n", ans, sum);return 0;
}

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