AI笔记: 数学基础之方向导数的计算和梯度

方向导数

定理

若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，沿任意方向l的方向导数
∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ+∂f∂zcosγ\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ
其中α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ 为l的方向角
证明
- 由函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在点P可微
- △f=∂f∂x△x+∂f∂y△y+∂f∂z△z+o(ρ)\triangle f = \frac{\partial f}{\partial x} \triangle x + \frac{\partial f}{\partial y} \triangle y + \frac{\partial f}{\partial z} \triangle z + o(\rho)△f=∂x∂f△x+∂y∂f△y+∂z∂f△z+o(ρ)
- =ρ(∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ+∂f∂zcosγ)+o(ρ)= \rho(\frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma) + o(\rho)=ρ(∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ)+o(ρ)
- ∂f∂l=lim⁡ρ→0△fρ=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ+∂f∂zcosγ\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma∂l∂f=limρ→0ρ△f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ

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对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿着方向l(方向角为α,β\alpha, \betaα,β)的方向导数为
∂f∂l=lim⁡ρ→0f(x+△x,y+△y)−f(x,y)ρ=fx′(x,y)cosα+fy′(x,y)cosβ\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\triangle x, y + \triangle y) - f(x,y)}{\rho} = f_x'(x,y)cos \alpha + f_y'(x,y) cos \beta∂l∂f=limρ→0ρf(x+△x,y+△y)−f(x,y)=fx′(x,y)cosα+fy′(x,y)cosβ
- ρ=(△x)2+(△y)2\rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2}ρ=(△x)2+(△y)2
- △x=ρcosα\triangle x = \rho cos \alpha△x=ρcosα
- △y=ρcosβ\triangle y = \rho cos \beta△y=ρcosβ
特别地
- l与x轴同向(α=0,β=π2\alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2}α=0,β=2π)时，有∂f∂l=∂f∂x\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}∂l∂f=∂x∂f
- l与x轴反向(α=π,β=π2\alpha = \pi, \beta = \frac{\pi}{2}α=π,β=2π)时，有∂f∂l=−∂f∂x\frac{\partial f}{\partial l} = -\frac{\partial f}{\partial x}∂l∂f=−∂x∂f

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方向导数

方向导数(directional derivative): 有时不仅仅需要知道函数在坐标轴上的变化率(即偏导数)，还需要设法求得函数在其他特定方向上的变化率；
而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿着任意方向L的方向导数都存在
且计算公式为：∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ

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例1

求函数u=x2yzu = x^2yzu=x2yz 在点P(1,1,1)沿向量 l⃗=(2,−1,3)\vec{l} = (2, -1, 3)l=(2,−1,3)的方向导数.
∂u∂l=∂u∂xcosα+∂u∂ycosβ+∂u∂zcosγ\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} cos \gamma∂l∂u=∂x∂ucosα+∂y∂ucosβ+∂z∂ucosγ
解
- 向量l⃗\vec{l}l的方向余弦为: cosα=214,cos⁡β=−114,cosγ=314cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{14}}, \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{14}}, cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{14}}cosα=142,cosβ=14−1,cosγ=143
- ∂u∂l∣P=(2xyz∗214)−x2z∗114+x2y∗314∣(1,1,1)=614\left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|_P = \left. (2xyz * \frac{2}{\sqrt{14}}) - x^2z * \frac{1}{\sqrt{14}} + x^2y * \frac{3}{\sqrt{14}} \right|_{(1,1,1)} = \frac{6}{\sqrt{14}}∂l∂u∣∣P=(2xyz∗142)−x2z∗141+x2y∗143∣∣∣(1,1,1)=146

例2

求函数z=xe2yz=xe^{2y}z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数
解
- 方向l即向量PQ=(1,−1)PQ = (1, -1)PQ=(1,−1)的方向，与l同方向的单位向量el=(12,−12).=(cosα,cosβ)e_l = (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}). = (cos \alpha, cos \beta)el=(21,−21).=(cosα,cosβ)
- 因函数可微，且∂z∂x∣(1,0)=e2y∣(1,0)=1,∂z∂y∣(1,0)=2xe2y∣(1,0)=2\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,0)} = \left. e^{2y} \right|_{(1,0)} = 1, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,0)} = \left. 2xe^{2y} \right|_{(1,0)} = 2∂x∂z∣∣(1,0)=e2y∣∣(1,0)=1,∂y∂z∣∣∣(1,0)=2xe2y∣∣(1,0)=2
- 所以，所求方向导数为：∂z∂l∣(1,0)=1∗12+2∗(−12)=−22\left. \frac{\partial z}{\partial l} \right|_{(1,0)} = 1 * \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 * (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}∂l∂z∣∣(1,0)=1∗21+2∗(−21)=−22

例3

求f(x,y,z)=xy+yz+zxf(x,y,z) = xy + yz + zxf(x,y,z)=xy+yz+zx 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为：60°, 45°, 60°
解：
- 与l同方向的单位向量 el=(cos60°,cos45°,cos60°)=(12,22,12)e_l = (cos 60°, cos 45°, cos 60°) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})el=(cos60°,cos45°,cos60°)=(21,22,21)
- 因函数可微，且
  - fx′(1,1,2)=(y+z)∣(1,1,2)=3f_x'(1,1,2) = (y + z)|_{(1,1,2)} = 3fx′(1,1,2)=(y+z)∣(1,1,2)=3
  - fy′(1,1,2)=(x+z)∣(1,1,2)=3f_y'(1,1,2) = (x + z)|_{(1,1,2)} = 3fy′(1,1,2)=(x+z)∣(1,1,2)=3
  - fz′(1,1,2)=(y+x)∣(1,1,2)=2f_z'(1,1,2) = (y + x)|_{(1,1,2)} = 2fz′(1,1,2)=(y+x)∣(1,1,2)=2
- 所以∂f∂l∣(1,1,2)=3∗12+3∗22+2∗12=12(5+32)\frac{\partial f}{\partial l} |_{(1,1,2)} = 3*\frac{1}{2} + 3*\frac{\sqrt{2}}{2} + 2*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(5 + 3\sqrt{2})∂l∂f∣(1,1,2)=3∗21+3∗22+2∗21=21(5+32)

梯度

1 ）概念

在空间的每一个点都可以确定无限多个方向，因此，一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.
在这无限多个方向导数中，最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的?
描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量，就是我们所讨论的梯度.
梯度是场论里的一个基本概念.所谓"场", 它表示空间区域上某种物理量的一种分布
从数学上看，这种分布常常表示为 Ω\OmegaΩ 上的一种数值函数或向量函数
能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场，称为数量场，如温度场、密度场等

2 ) 方向导数公式

∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ+∂f∂zcosγ\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ
- 令向量 G⃗=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\vec{G} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})G=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)
- l°⃗=(cosα,cosβ,cosγ)\vec{l°} = (cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)l°=(cosα,cosβ,cosγ)
∂f∂l=G⃗⋅l°⃗=∣G⃗∣cos(G⃗,l°⃗)(∣l°⃗∣=1)\frac{\partial f}{\partial l} = \vec{G}·\vec{l°} = |\vec{G}|cos(\vec{G}, \vec{l°}) \ \ \ (|\vec{l°}| = 1)∂l∂f=G⋅l°=∣G∣cos(G,l°) (∣l°∣=1)
当l°⃗\vec{l°}l°与G⃗\vec{G}G方向一致时，方向导数取最大值：max(∂f∂l)=∣G⃗∣max(\frac{\partial f}{\partial l}) = |\vec{G}|max(∂l∂f)=∣G∣
可见：G⃗\vec{G}G
- 方向：f 变化率最大的方向
- 模：f 的最大变化率之值

3 ) 梯度定义

向量G⃗\vec{G}G：称为函数f(P)f(P)f(P)在点P处的梯度(gradient), 记做：grad f
即 gradf=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗+∂f∂zk⃗grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}grad f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 gradf=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗=(∂f∂x,∂f∂y)grad \ f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})grad f=∂x∂fi+∂y∂fj=(∂x∂f,∂y∂f)
说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
∇=(∂∂x,∂∂y)\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})∇=(∂x∂,∂y∂), 引用记号，称为奈布拉(Nebla)算符，或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子
则梯度可记为：gradf=(∂f∂x,∂f∂y)∇fgrad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \nabla fgrad f=(∂x∂f,∂y∂f)∇f
- 函数f沿梯度grad f方向，增加最快(上升)
- 函数f沿负梯度 -grad f方向，减小最快(下降)
gradf(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j)grad \ f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0)j)grad f(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j)
- 或 ∇f(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j=fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)\nabla f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0) j = {f_x'(x_0, y_0), f_y'(x_0, y_0)}∇f(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j=fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)
gradf=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗+∂f∂zk⃗grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}grad f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
- 或 ∇f(x0,y0,z0)={fx′(x0,y0,z0),fy′(x0,y0,z0),fz′(x0,y0,z0)}=fx′(x0,y0,z0)i+fy′(x0,y0,z0)j+fz′(x0,y0,z0)k\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \{f_x'(x_0, y_0, z_0), f_y'(x_0, y_0, z_0), f_z'(x_0, y_0, z_0)\} = f_x'(x_0, y_0, z_0)i + f_y'(x_0, y_0, z_0)j + f_z'(x_0, y_0, z_0)k∇f(x0,y0,z0)={fx′(x0,y0,z0),fy′(x0,y0,z0),fz′(x0,y0,z0)}=fx′(x0,y0,z0)i+fy′(x0,y0,z0)j+fz′(x0,y0,z0)k

说明

以三元函数为例，设u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微分，则函数在该点的梯度为 gradf=∇f=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗+∂f∂zk⃗=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(∂(f)∂(x,y,z))grad \ f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (\frac{\partial (f)}{\partial(x,y,z)})grad f=∇f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=(∂(x,y,z)∂(f))
梯度是函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)在点P处取得的最大方向导数的方向，最大方向导数为：∣gradf∣=(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+(∂f∂z)2|grad \ f| = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2 + (\frac{\partial f}{\partial z})^2}∣grad f∣=(∂x∂f)2+(∂y∂f)2+(∂z∂f)2
函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)在点P处沿方向l⃗\vec{l}l的方向导数：∂f∂l⃗=gradf⋅l°⃗=∇f⋅l°⃗\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = grad \ f·\vec{l°} = \nabla f · \vec{l °}∂l∂f=grad f⋅l°=∇f⋅l°

例1

求grad1x2+y2grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}grad x2+y21
解：
- 这里f(x,y)=1x2+y2f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2}f(x,y)=x2+y21
- 因 ∂f∂x=−2x(x2+y2)2,∂f∂y=−2y(x2+y2)2\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}∂x∂f=−(x2+y2)22x,∂y∂f=−(x2+y2)22y
- 所以，grad1x2+y2=−2x(x2+y2)2i⃗−2y(x2+y2)2j⃗grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2} \vec{i} - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \vec{j}grad x2+y21=−(x2+y2)22xi−(x2+y2)22yj

例2

设f(x,y,z)=x3−xy2−zf(x,y,z) = x^3 - xy^2 - zf(x,y,z)=x3−xy2−z, p(1,1,0)p(1,1,0)p(1,1,0).
问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快，在这方向的变化率是多少?
解
- ∇f=fx′i+fy′j+fz′k=(3x2−y2)i−2xyj−k\nabla f = f_x'i + f_y'j + f_z'k = (3x^2 - y^2)i - 2xyj - k∇f=fx′i+fy′j+fz′k=(3x2−y2)i−2xyj−k
- ∇f(1,1,0)=2i−2j−k\nabla f(1,1,0) = 2i - 2j - k∇f(1,1,0)=2i−2j−k
- 沿 ∇f(1,1,0)\nabla f(1,1,0)∇f(1,1,0) 方向，增加最快(上升)
- 沿 −∇f(1,1,0)- \nabla f(1,1,0)−∇f(1,1,0) 方向，增加最快(下降)
- max{∂f∂l∣p}=∣gradf∣=∣∇f(1,1,0)∣=3max\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = |grad \ f| = |\nabla f(1,1,0)| = 3max{∂l∂f∣p}=∣grad f∣=∣∇f(1,1,0)∣=3
- min{∂f∂l∣p}=−∣gradf∣=−∣∇f(1,1,0)∣=−3min\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = -|grad \ f| = -|\nabla f(1,1,0)| = -3min{∂l∂f∣p}=−∣grad f∣=−∣∇f(1,1,0)∣=−3

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