AI笔记: 数学基础之数字特征-期望与方差

关于 3 σ 3\sigma 3σ法则

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3 σ 3\sigma 3σ法则： 3 σ 3\sigma 3σ之外的数据可认为异常数据

期望

期望(mean): 也就是均值, 是概率加权下的"平均值"，是每次可能结果的概率乘以其结果的总和, 反映的是随机变量平均取值大小, 常用符号 μ \mu μ表示
连续型： E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx E(X)=∫−∞∞xf(x)dx
离散型： E ( X ) = ∑ i x i p i E(X) = \sum_i x_i p_i E(X)=∑ixipi

计算期望

每次数据为X,相关发生概率为P(x)，数据如下：
- X: 2， 4， 6， 8， 10
- P(x): 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2
- 则 E ( X ) = ∑ i x i p i = 2 ∗ 0.2 + 4 ∗ 0.2 + 6 ∗ 0.2 + 8 ∗ 0.2 + 10 ∗ 0.2 = 6 E(X) = \sum_i x_i p_i = 2*0.2 + 4*0.2 + 6*0.2 + 8*0.2 + 10*0.2 = 6 E(X)=∑ixipi=2∗0.2+4∗0.2+6∗0.2+8∗0.2+10∗0.2=6

期望性质

假设C为一个常数，X和Y是两个随机变量，那么期望有如下性质
- E© = C
- E(CX) = CE(X)
- E(X+Y) = E(X) + E(Y)
- 如果X和Y相互独立，那么E(XY) = E(X)E(Y)
- 如果E(XY) = E(X)E(Y), 那么X和Y不相关

例1

甲乙两人赌博，假设两人获胜的概率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，可以获得100元的奖励。当比赛进行三局的时候，其中甲剩了2局，乙生了一句，这时候由于一些原因终止了比赛，请问如何分配这100元才比较公平?
分析
- P ( 甲 ) = P ( 乙 ) = 1 2 P(甲) = P(乙) = \frac{1}{2} P(甲)=P(乙)=21
- P ( 甲赢 ) = P ( 赢 4 ) + P ( 赢 5 ，输 4 ) = 1 2 + 1 2 ∗ ( 1 − 1 2 ) = 3 4 P(甲赢) = P(赢4) + P(赢5，输4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} * (1-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} P(甲赢)=P(赢4)+P(赢5，输4)=21+21∗(1−21)=43
- P ( 乙赢 ) = P ( 赢 5 , 赢 4 ) = 1 2 ∗ 1 2 = 1 4 P(乙赢) = P(赢5, 赢4) = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4} P(乙赢)=P(赢5,赢4)=21∗21=41
- E ( 甲 ) = 100 ∗ P ( 甲赢 ) = 100 ∗ 3 4 = 75 E(甲) = 100 * P(甲赢) = 100 * \frac{3}{4} = 75 E(甲)=100∗P(甲赢)=100∗43=75
- E ( 乙 ) = 100 ∗ P ( 乙赢 ) = 100 ∗ 1 4 = 25 E(乙) = 100 * P(乙赢) = 100 * \frac{1}{4} = 25 E(乙)=100∗P(乙赢)=100∗41=25

例2

某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个, 有一个孩子的有9万个，有两个孩子的家庭有6000个, 有三个孩子的家庭有3000个, 问次城市一个家庭平均有小孩多少个?
分析
- X: 0, 1, 2, 3
- P: 0.01, 0.9, 0.06, 0.03
- E ( X ) = ∑ i = 0 3 x i p ( x i ) = 0 ∗ 0.01 + 1 ∗ 0.9 + 2 ∗ 0.06 + 3 ∗ 0.03 = 1.11 E(X) = \sum_{i=0}^3 x_i p(x_i) = 0 * 0.01 + 1 * 0.9 + 2 * 0.06 + 3 * 0.03 = 1.11 E(X)=∑i=03xip(xi)=0∗0.01+1∗0.9+2∗0.06+3∗0.03=1.11

例3

甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出
X:甲击中的环数，Y：乙击中的环数
甲：
- X: 8, 9, 10
- P: 0.1, 0.3, 0.6
乙：
- X: 8, 9, 10
- P: 0.2, 0.5, 0.3
试问哪个人射击的水平较高?
分析
- 甲乙的平均环数为：
  - E X = 8 ∗ 0.1 + 9 ∗ 0.3 + 10 ∗ 0.6 = 9.5 EX = 8*0.1 + 9*0.3 + 10*0.6 = 9.5 EX=8∗0.1+9∗0.3+10∗0.6=9.5
  - E Y = 8 ∗ 0.2 + 9 ∗ 0.5 + 10 ∗ 0.3 = 9.1 EY = 8*0.2 + 9*0.5 + 10*0.3 = 9.1 EY=8∗0.2+9∗0.5+10∗0.3=9.1
- 所以，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好

方差

方差(variance)是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，是用来度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。即方差是衡量数据源数据和期望均值相差的度量值。
V a r ( X ) = D ( X ) = σ 2 = ∑ ( X − μ ) 2 N Var(X) = D(X) = \sigma^2 = \frac{\sum (X - \mu)^2}{N} Var(X)=D(X)=σ2=N∑(X−μ)2
D ( X ) = ∑ i = 1 n p i ⋅ ( x i − u ) 2 D(X) = \sum_{i=1}^n p_i · (x_i - u)^2 D(X)=∑i=1npi⋅(xi−u)2
D ( X ) = ∫ a b ( x − μ ) 2 f ( x ) d x D(X) = \int_a^b (x - \mu)^2 f(x) dx D(X)=∫ab(x−μ)2f(x)dx
D ( X ) = E ( ( X − E ( x ) ) 2 ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 D(X) = E((X-E(x))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 D(X)=E((X−E(x))2)=E(X2)−(E(X))2

计算一组数据的方差

X: 2， 4， 6， 8， 10
P(x): 0.2, 0.2, 0.2, 0.2
分析
- E ( X ) = 6 E(X) = 6 E(X)=6
- E ( X 2 ) = 44 E(X^2) = 44 E(X2)=44
- D ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = 44 − 6 2 = 8 D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 44 - 6^2 = 8 D(X)=E(X2)−(E(X))2=44−62=8

例1

甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：
X: 甲击中的环数，Y: 乙击中的环数
甲
- X: 8, 9, 10
- P: 0.3, 0.2, 0.5
乙
- X: 8, 9, 10
- P: 0.2, 0.4, 0.4
试问哪个人的射击水平较高?
分析
- 比较两个人的平均环数
- 甲的平均环数：EX = 80.3 + 90.2 + 10*0.5 = 9.2
- 乙的平均环数：EY = 80.2 + 90.4 + 10*0.4 = 9.2
- 因此，从平均环数来看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击环数的方差分别为：
  - D X = ( 8 − 9.2 ) 2 ∗ 0.3 + ( 9 − 9.2 ) 2 ∗ 0.2 + ( 10 − 9.2 ) 2 ∗ 0.5 = 0.76 DX = (8-9.2)^2 * 0.3 + (9-9.2)^2 * 0.2 + (10-9.2)^2 * 0.5 = 0.76 DX=(8−9.2)2∗0.3+(9−9.2)2∗0.2+(10−9.2)2∗0.5=0.76
  - D Y = ( 8 − 9.2 ) 2 ∗ 0.2 + ( 9 − 9.2 ) 2 ∗ 0.4 + ( 10 − 9.2 ) 2 ∗ 0.4 = 0.624 DY = (8-9.2)^2 * 0.2 + (9-9.2)^2 * 0.4 + (10-9.2)^2 * 0.4 = 0.624 DY=(8−9.2)2∗0.2+(9−9.2)2∗0.4+(10−9.2)2∗0.4=0.624
- 由于DY < DX，表明乙的射击水平比甲稳定

方差性质

假设C为一个常数，X和Y两个随机变量，那么方差有以下性质
- D ( C ) = 0 D(C) = 0 D(C)=0
- D ( C X ) = C 2 D ( X ) D(CX) = C^2D(X) D(CX)=C2D(X)
- D ( C + X ) = D ( X ) D(C+X) = D(X) D(C+X)=D(X)
- D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 C o v ( X , Y ) D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
- 协方差 C o v ( X , Y ) = E { ( X − E ( X ) ) ⋅ ( Y − E ( Y ) ) } Cov(X,Y) = E\{ (X - E(X)) · (Y - E(Y)) \} Cov(X,Y)=E{(X−E(X))⋅(Y−E(Y))}
- 如果X和Y不相关, 那么KaTeX parse error: Undefined control sequence: \pmY at position 4: D(X\̲p̲m̲Y̲) = D(X) + D(Y)

常见分布

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