AI笔记: 数学基础之偏导数与方向导数

多元函数偏导数

在一个多变量的函数中，偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定不变。
假定二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y), 点(x_0, y_0)是其定义域内的一个点，将y固定在y0y_0y0上，而x在x0x_0x0上增量△x\triangle x△x,
相应的函数z有增量△z=f(x0+△x,y0)−f(x0,y0)\triangle z = f(x_0 + \triangle x, y_0) - f(x_0, y_0)△z=f(x0+△x,y0)−f(x0,y0)
△z\triangle z△z 和 △x\triangle x△x的比值当△x\triangle x△x的值趋近于0的时候，如果极限存在，那么此极限称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在x0,y0x_0,y_0x0,y0处对x的偏导数(partial derivative),
记为：fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)fx′(x0,y0)
对x的偏导数：∂f∂x∣x=x0,y=y0\left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0, y=y_0}∂x∂f∣∣∣x=x0,y=y0
对y的偏导数：∂f∂y∣x=x0,y=y0\left.\frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x=x_0, y=y_0}∂y∂f∣∣∣x=x0,y=y0

三元函数的偏导数

对于三元函数u=f(x,y,z)u = f(x,y,z)u=f(x,y,z)可类似求偏导数，定义u在点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0(x0,y0,z0)分别对x,y,z的偏导数
- fx′(x0,y0,z0)=lim⁡△x→0f(x0+△x,y0,z0)−f(x0,y0,z0)△xf_x'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x, y_0, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle x}fx′(x0,y0,z0)=lim△x→0△xf(x0+△x,y0,z0)−f(x0,y0,z0)
- fy′(x0,y0,z0)=lim⁡△y→0f(x0,y0+△y,z0)−f(x0,y0,z0)△yf_y'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \triangle y, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle y}fy′(x0,y0,z0)=lim△y→0△yf(x0,y0+△y,z0)−f(x0,y0,z0)
- fz′(x0,y0,z0)=lim⁡△z→0f(x0,y0,z0+△x)−f(x0,y0,z0)△zf_z'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle z \to 0} \frac{f(x_0, y_0, z_0 + \triangle x) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle z}fz′(x0,y0,z0)=lim△z→0△zf(x0,y0,z0+△x)−f(x0,y0,z0)
偏导数是多元函数对其中某一个自变量(其余自变量视为常量)的变化率

案例

求z=x2+3xy+y2z=x^2 + 3xy + y^2z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数
解法1：
- ∂z∂x=2x+3y\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y∂x∂z=2x+3y
- ∂z∂y=3x+2y\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y∂y∂z=3x+2y
- ∂z∂x∣(1,2)=2∗1+3∗2=8\left.\frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = 2*1 + 3*2 = 8∂x∂z∣∣(1,2)=2∗1+3∗2=8
- ∂z∂y∣(1,2)=3∗1+2∗2=7\left.\frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = 3*1 + 2*2 = 7∂y∂z∣∣∣(1,2)=3∗1+2∗2=7
解法2：
- z∣y=2=x2+6x+4\left. z \right|_{y=2} = x^2 + 6x + 4z∣y=2=x2+6x+4
- ∂z∂x∣(1,2)=(2x+6)∣x=1=8\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = \left. (2x+6) \right|_{x=1} = 8∂x∂z∣∣(1,2)=(2x+6)∣x=1=8
- z∣x=1=1+3y+y2\left. z \right|_{x=1} = 1 + 3y + y^2z∣x=1=1+3y+y2
- ∂z∂y∣(1,2)=(3+2y)∣y=2=7\left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = \left. (3+2y) \right|_{y=2} = 7∂y∂z∣∣∣(1,2)=(3+2y)∣y=2=7

高阶偏导数

1 ） 二阶偏导

函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导数为：
有两大类，四小类
- 纯偏导
  - ∂∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2=fxx′′=f11′′\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f''_{xx} = f''_{11}∂x∂(∂x∂z)=∂x2∂2z=fxx′′=f11′′
  - ∂∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2=fyy′′=f22′′\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f''_{yy} = f''_{22}∂y∂(∂y∂z)=∂y2∂2z=fyy′′=f22′′
- 混合偏导
  - ∂∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y=fxy′′=f12′′\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = f''_{12}∂y∂(∂x∂z)=∂x∂y∂2z=fxy′′=f12′′
  - ∂∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x=fyx′′=f21′′\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = f''_{21}∂x∂(∂y∂z)=∂y∂x∂2z=fyx′′=f21′′

2 ) 类似可以定义更高阶的偏导数

z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为：∂3z∂x3=∂∂x(∂2z∂x2)\frac{\partial^3 z}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2})∂x3∂3z=∂x∂(∂x2∂2z)
z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)关于x的n-1阶偏导数，再关于y的一阶偏导数为：∂nz∂xn−1∂y=∂z∂y(∂n−1z∂xn−1)\frac{\partial^n z}{\partial x^{n-1} \partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} (\frac{\partial^{n-1}z}{\partial x^{n-1}})∂xn−1∂y∂nz=∂y∂z(∂xn−1∂n−1z)
定义：二阶及以上的偏导数统称为高阶偏导数

方向导数

1 ）向量

向量：是指具有n个相互独立的性质(维度)的对象的表示,向量常使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量, 比如：a⃗=OP⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{a} = \vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}a=OP=xi+yj+zk, 可以用坐标(i,j,k)表示向量a
向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，向量坐标到原点的距离，常记为：∣a∣|a|∣a∣
单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量叫做单位向量

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2 ) 向量的运算

设两向量为：a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec{a} = (x_1,y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)a=(x1,y1),b=(x2,y2), 并且a和b之间的夹角为: θ\thetaθ
数量积：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量/实数，记为：a⃗⋅b⃗\vec{a} · \vec{b}a⋅b
- a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗cosθ\vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| * |\vec{b}| * cos \thetaa⋅b=∣a∣∗∣b∣∗cosθ
向量积：两个向量的向量积(外积、叉积)是一个向量, 记为：a⃗×b⃗\vec{a} × \vec{b}a×b. 向量积即两个不共线的非零向量所在平面的一组法向量
- ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗sinθ|\vec{a} × \vec{b}| = |\vec{a}| * |\vec{b}| * sin \theta∣a×b∣=∣a∣∗∣b∣∗sinθ
- 乘积的模为两个向量平移后组成的平行四边形的面积
- 法向量方向为两个向量所组成平面的垂线方向
知道两个向量，就可以求出两个向量的夹角θ\thetaθ
- cosθ=a⃗b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12∗x22+y22cos \theta = \frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}cosθ=∣a∣∣b∣ab=x12+y12∗x22+y22x1x2+y1y2

3 ） 正交向量

正交向量：如果两个向量的点积为零，那么称这两个向量互为正交向量，在几何意义上来说，正交向量在二维/三维空间上其实就是两个向量相互垂直
如果两个或多个向量，它们的点积均为0，那么它们互相称为正交向量

4 ） 向量的方向角以及方向角的余弦

设在一个三维坐标轴下有一个向量a⃗=OA⃗\vec{a} = \vec{OA}a=OA 与x,y,z轴所成的夹角分为α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ, 这些就是方向角
cosα=x0∣OA⃗∣cos \alpha = \frac{x_0}{|\vec{OA}|}cosα=∣OA∣x0 ，其中，x0x_0x0 是该向量映射到x轴的长度
cosβ=y0∣OA⃗∣cos \beta = \frac{y_0}{|\vec{OA}|}cosβ=∣OA∣y0，其中，y0y_0y0 是该向量映射到y轴的长度
cosγ=z0∣OA⃗∣cos \gamma = \frac{z_0}{|\vec{OA}|}cosγ=∣OA∣z0，其中，z0z_0z0 是该向量映射到z轴的长度
可见，cos2α+cos2β+cos2γ=1cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1cos2α+cos2β+cos2γ=1

5 ） 方向导数

定义：若函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在点P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z)处沿方向l(方向角为：α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ), 其中ρ=∣PP′∣\rho = |PP'|ρ=∣PP′∣, 存在下列极限
lim⁡ρ→0△fρ=lim⁡ρ→0f(x+△x,y+△y,z+△z)−f(x,y,z)ρ=∂f∂l\lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x + \triangle x, y + \triangle y, z + \triangle z) - f(x,y,z)}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial l}limρ→0ρ△f=limρ→0ρf(x+△x,y+△y,z+△z)−f(x,y,z)=∂l∂f
其中，ρ=(△x)2+(△y)2+(△z)2\rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2 + (\triangle z)^2}ρ=(△x)2+(△y)2+(△z)2, △x=ρcosα\triangle x = \rho cos \alpha△x=ρcosα, △y=ρcosβ\triangle y = \rho cos \beta△y=ρcosβ, △z=ρcosγ\triangle z = \rho cos \gamma△z=ρcosγ
则称 ∂f∂l\frac{\partial f}{\partial l}∂l∂f 为函数在点P处沿方向l的方向导数

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