2021牛客多校3 - Kuriyama Mirai and Exclusive Or(差分+倍增)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的序列，现在需要执行 mmm 次操作，每次操作分为下列两种类型：

0 l r x：区间 [l,r][l,r][l,r] 内的数都异或上 xxx
1 l r x：区间 [l,r][l,r][l,r] 内的数异或上一个首项为 xxx 公差为 111 的等差序列，具体来说就是 a[l]⊕x,a[l+1]⊕(x+1),...,a[r]⊕(x+r−l)a[l]\oplus x,a[l+1]\oplus (x+1),...,a[r]\oplus (x+r-l)a[l]⊕x,a[l+1]⊕(x+1),...,a[r]⊕(x+r−l)

最后需要输出最终的序列

题目分析：第一个操作通过差分很容易维护，关键是第二个操作的等差数列该如何维护，因为异或操作对于加法操作不具有分配律，所以我们需要将区间拆解

具体而言就是，设 k=log(lowbit(x))k=log(lowbit(x))k=log(lowbit(x))，对于值域区间 [x,x+2k)[x,x+2^{k})[x,x+2k) 来说，因为 xxx 转换成二进制后的低 iii 位都是 000，所以原本需要异或的 x+(i−l)x+(i-l)x+(i−l) 就可以拆成 x⊕(i−l)x\oplus (i-l)x⊕(i−l)，所以可以将每次需要进行第二种操作的区间都拆成 logloglog 个类似的区间进行维护，更具体的，维护一个倍增差分数组 c[i][j]c[i][j]c[i][j]，代表区间 [i,i+(1<<j))[i,i+(1<<j))[i,i+(1<<j)) 需要分别异或上等差数列 {1,2,3,...,2j−1}\{1,2,3,...,2^{j}-1\}{1,2,3,...,2j−1}，每次更新的时候同时维护原差分数组和倍增差分数组就可以了

还原的时候类似于线段树的pushdown，也类似于倍增的下压，O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn) 处理一下就可以得到正确的原差分数列了

代码：

// Problem: Kuriyama Mirai and Exclusive Or
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11254/I
// Memory Limit: 131072 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],b[N],c[N][20],n,m;
void add(int l,int r,int x) {if(l>r) {return;}if(l<=n) {b[l]^=x;}if(r+1<=n) {b[r+1]^=x;}
}
void add_tag(int x,int k) {c[x][k]^=1;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);}while(m--) {int op,l,r,x;read(op),read(l),read(r),read(x);if(op==0) {add(l,r,x);} else if(op==1) {for(int i=0;i<=19;i++) {if(((x>>i)&1)&&l+(1<<i)-1<=r) {int ll=l,rr=l+(1<<i)-1;add(ll,rr,(x>>i)<<i);add_tag(l,i);x+=(1<<i);l+=(1<<i);}}for(int i=19;i>=0;i--) {if(l+(1<<i)-1<=r) {int ll=l,rr=l+(1<<i)-1;add(ll,rr,(x>>i)<<i);add_tag(l,i);l+=(1<<i);x+=(1<<i);}}}}for(int i=19;i>=1;i--) {for(int j=1;j<=n;j++) {if(!c[j][i]) {continue;}int l=j+(1<<(i-1)),r=j+(1<<i)-1;c[j][i-1]^=1;if(l<=n) {c[l][i-1]^=1;add(l,r,1<<(i-1));}}}for(int i=1;i<=n;i++) {b[i]^=b[i-1];printf("%d ",a[i]^b[i]);}return 0;
}

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