题意：

给你一个数组aaa，让你实现以下两个操作之后输出数组aaa。

n≤6e5,ai≤230−1n\le6e5,a_i\le2^{30}-1n≤6e5,ai≤230−1

思路：

下面介绍的思路清奇，反正我想不到。
对于两个操作，显然对于异或操作顺序是没有影响的，所以对于第一个操作可以直接打个差分即可。
对于第二个操作，我们本能的想把括号拆开，但是括号中是加法对于异或来说没有分配律，所以考虑(x+(i−l))(x+(i-l))(x+(i−l))将加法转换成或，假设xxx的111的最低位置在2k2^k2k处，如果i−l<2ki-l<2^ki−l<2k，那么此时(x+(i−l))=(x∣(i−l))(x+(i-l))=(x|(i-l))(x+(i−l))=(x∣(i−l))，此时ai⊕(x+(i−l))=ai⊕(x∣(i−l))=ai⊕x⊕(i−l)a_i\oplus (x+(i-l))=a_i\oplus (x|(i-l))=a_i\oplus x \oplus (i-l)ai⊕(x+(i−l))=ai⊕(x∣(i−l))=ai⊕x⊕(i−l)，也就是先让iii位置异或上xxx，让后让[i,i+2k−1][i,i+2^k-1][i,i+2k−1]的位置分别异或上0,1,...,2k−10,1,...,2^k-10,1,...,2k−1。所以我们记一个f[k][i]f[k][i]f[k][i]数组表示是否需要将[i,i+2k−1][i,i+2^k-1][i,i+2k−1]的位置分别异或上0,1,...,2k−10,1,...,2^k-10,1,...,2k−1，之后将x+(1<<k),l+(1<<k)x+(1<<k),l+(1<<k)x+(1<<k),l+(1<<k)即可。
这样一直推下去，到最后会剩下一段小区间，这段区间我们直接倒着来一遍即可，因为他的后k−1k-1k−1位都是000，所以也满足上面的性质。
我们记了一个fff数组，个人感觉怎么用它也是一个比较难想到的点。我们可以用类似倍增实则是倍增的逆过程来递推下去，是一种分治的思想。
考虑当前遍历到了f[i][k]f[i][k]f[i][k]，那么我们可以将其分成两段来看，两段分别是[i,i+2k−1−1],[i+2k−1,i+2k−1][i,i+2^{k-1}-1],[i+2^{k-1},i+2^{k}-1][i,i+2k−1−1],[i+2k−1,i+2k−1]。
对于第一段，我们直接将f[i][k−1]f[i][k-1]f[i][k−1]标记一下，让后等分治下去处理即可。对于
对于第二段，我们将f[i+2k−1][k−1]f[i+2^{k-1}][k-1]f[i+2k−1][k−1]标记一下，这样还不够，因为这一位及其之后应该异或上2k−1,2k−1+1,...,2k−12^{k-1},2^{k-1}+1,...,2^k-12k−1,2k−1+1,...,2k−1，根据上面的转换公式，我们可以将i+2k−1i+2^{k-1}i+2k−1差分数组的位置异或上2k−12^{k-1}2k−1即可，这样就可以不断的分治递推下去，代码写起来很像倍增的逆过程。。

// Problem: Kuriyama Mirai and Exclusive Or
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11254/I
// Memory Limit: 131072 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<random>
#include<cassert>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n,m;
int a[N];
int d[N],f[30][N];int main()
{//  ios::sync_with_stdio(false);
//  cin.tie(0);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);while(m--) {int op,l,r,x; scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&x);if(op==0) d[l]^=x,d[r+1]^=x;else {int k=0;while(l+(1<<k)-1<=r) {if(x>>k&1){int now=l+(1<<k);d[l]^=x; d[now]^=x;f[k][l]^=1;x+=(1<<k); l=now; }k++;}while(l<=r) {if(l+(1<<k)-1<=r) {int now=l+(1<<k);d[l]^=x; d[now]^=x;f[k][l]^=1;x+=(1<<k); l=now; }k--;}}}for(int i=29;i>=1;i--) {for(int j=1;j<=n;j++) {if(f[i][j]) {f[i-1][j]^=1;f[i-1][j+(1<<(i-1))]^=1;d[j+(1<<(i-1))]^=(1<<(i-1));d[j+(1<<i)]^=(1<<(i-1));}}}for(int i=1;i<=n;i++) d[i]^=d[i-1];for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]^d[i]);return 0;
}
/**/

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2021牛客暑期多校训练营3 I Kuriyama Mirai and Exclusive Or 差分 + 二进制分治

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