2021牛客多校2－F

F－Girlfriend

题目大意

给出四个点 A , B , C , D A, B, C, D A,B,C,D
另有两点 P 1 , P 2 P_1, P_2 P1,P2分别满足 ∣ A P 1 ∣ ≥ k 1 ∣ B P 1 ∣ |AP_1| \geq k_1|BP_1| ∣AP1∣≥k1∣BP1∣， ∣ C P 2 ∣ ≥ k 2 ∣ D P 2 ∣ |CP_2| \geq k_2|DP_2| ∣CP2∣≥k2∣DP2∣
求 P 1 , P 2 P_1, P_2 P1,P2相交范围的体积
Time : 1000 ms
Memory: 262144 kB

解题思路及分析

阿波罗尼斯圆，在三维情况下成为一个球，根据这个可以直接写出球的球心坐标和半径
不知道公式的也可以现场去推公式（因为是轮换对称的，只推一个坐标就可以写出另外两个）
我写的时候因为忘了结论就是现场推的但是推错好多次…… 这里给出结论：
若， A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，且 P 点满足 ∣ A P ∣ = k ∣ B P ∣ 则 P 点的轨迹方程为一个球球心坐标： O ( k 2 x 2 − x 1 k 2 − 1 , k 2 y 2 − y 1 k 2 − 1 , k 2 z 2 − z 1 k 2 − 1 ) 半径： r = k ∣ A B ∣ ∣ k 2 − 1 ∣ 若，A(x_1, y_1, z_1), B(x_2,y_2,z_2) ，且P点满足|AP| = k|BP| 　\\　\\ 则P点的轨迹方程为一个球　\\　\\ 　球心坐标：O(\frac{k^2x_2-x_1}{k^2-1},\frac{k^2y_2-y_1}{k^2-1},\frac{k^2z_2-z_1}{k^2-1} )\\　\\ 半径：r = \frac{k|AB|}{|k^2-1|} 若，A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，且P点满足∣AP∣=k∣BP∣　　则P点的轨迹方程为一个球　　　球心坐标：O(k2−1k2x2−x1,k2−1k2y2−y1,k2−1k2z2−z1)　半径：r=∣k2−1∣k∣AB∣
找到两个球的球心和半径后，可根据球心距与半径的关系判断两球的关系，进而求出两球相交的体积。
两球相交部分的体积可以利用积分去求，涉及到球冠等概念，可以当作结论记住，具体证明可以在其他人的博客中找到，这里只给出结论：（相交但不内含时满足）
对于大球，根据余弦定理，可得 cos ⁡ α = R 2 + d 2 − r 2 2 R d 记： h 1 = R ( 1 − cos ⁡ α ) 积分可得球冠部分的体积： π R h 1 2 − π h 1 3 3 同理对于小球 cos ⁡ β = r 2 + d 2 − R 2 2 r d 记： h 2 = r ( 1 − cos ⁡ β ) 积分可得球冠部分的体积： π r h 2 2 − π h 2 3 3 对于大球，根据余弦定理，可得 \\ \cos \alpha = \frac{R^2+d^2-r^2}{2Rd} \\ 记：h_1 = R(1-\cos \alpha ) \\ 积分可得球冠部分的体积：\pi Rh_1^2- \frac{\pi h_1^3}{3}\\ 　\\ \\　\\ 同理对于小球\\ \cos \beta = \frac{r^2+d^2-R^2}{2rd} \\ 记：h_2 = r(1-\cos \beta ) \\ 积分可得球冠部分的体积：\pi rh_2^2- \frac{\pi h_2^3}{3} 对于大球，根据余弦定理，可得cosα=2RdR2+d2−r2记：h1=R(1−cosα)积分可得球冠部分的体积：πRh12−3πh13　　同理对于小球cosβ=2rdr2+d2−R2记：h2=r(1−cosβ)积分可得球冠部分的体积：πrh22−3πh23
将两部分求和即为相交部分的体积。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long llong;
const int N = 500000 + 5;
const double PI = 3.1415926535;
using namespace std;int x[10], y[10], z[10];
int k11, k22;
double x1, y_1, z1, r1; // cmath库里有y1，牛客上会CE于是改成了y_1
double x2, y2, z2, r2;double dis(double x1, double y_1, double z1, double x2, double y2, double z2) {return (x1 - x2)*(x1 - x2) + (y_1 - y2)*(y_1 - y2) + (z1 - z2)*(z1 - z2);
}double getVolume(double r) {return 4.0 * PI * r * r * r / 3.0;
}int main() {#ifdef LOCALfreopen("E:/code/ACM/in.in", "r", stdin);freopen("E:/code/ACM/out.out", "w", stdout);#endifint T;  cin >> T;while (T--) {for (int i = 0; i < 4; i++) {scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);}scanf("%d%d", &k11, &k22);double k1 = k11;double k2 = k22;x1 = (k1 * k1 * x[1] - x[0]) / (k1 * k1 - 1);y_1 = (k1 * k1 * y[1] - y[0]) / (k1 * k1 - 1);z1 = (k1 * k1 * z[1] - z[0]) / (k1 * k1 - 1);r1 = k1 * sqrt((x[0] - x[1]) * (x[0] - x[1]) + (y[0] - y[1]) * (y[0] - y[1]) + (z[0] - z[1]) * (z[0] - z[1])) / (k1 * k1 - 1);x2 = (k2 * k2 * x[3] - x[2]) / (k2 * k2 - 1);y2 = (k2 * k2 * y[3] - y[2]) / (k2 * k2 - 1);z2 = (k2 * k2 * z[3] - z[2]) / (k2 * k2 - 1);r2 = k2 * sqrt((x[3] - x[2]) * (x[3] - x[2]) + (y[3] - y[2]) * (y[3] - y[2]) + (z[3] - z[2]) * (z[3] - z[2])) / (k2 * k2 - 1);double dd = dis(x1, y_1, z1, x2, y2, z2);double d = sqrt(dd);double r = min(r1, r2);double R = max(r1, r2);if (d >= r + R) {printf("0.000\n");} else if (d + r <= R) {printf("%.3f\n", getVolume(r));} else {double ca = (R * R + dd - r * r) / (2.0 * R * d);double h1 = R * (1 - ca);double cb = (r * r + dd - R * R) / (2.0 * r * d);double h2 = r * (1 - cb);double volume = ((3.0 * R - h1) * h1 * h1 * PI) / 3.0 + ((3.0 * r - h2) * h2 * h2 * PI) / 3.0;printf("%.3f\n", volume);}}return 0;
}

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