2021牛客多校9 - Cells(推公式+NTT)

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题目大意：初始时给出 nnn 个点，分别为 {(0,a0),(0,a1),⋯,(0,an)}\{(0,a_0),(0,a_1),\cdots,(0,a_n)\}{(0,a0),(0,a1),⋯,(0,an)}，每次可以向下走或向左走，问到达点 {(1,0),(2,0),⋯,(n,0)}\{(1,0),(2,0),\cdots,(n,0)\}{(1,0),(2,0),⋯,(n,0)} 且路径不相交的方案数

题目分析：有向图路径不相交方案数问题，考虑 LGVLGVLGV 定理，实质上就是要求

假设 aia_iai 和 bjb_jbj 用坐标表示，那么不难看出 e(ai,bj)=((ai,x−bj,x)+(ai,y−bj,y)ai,x−bj,x)e(a_i,b_j)={(a_{i,x}-b_{j,x})+(a_{i,y}-b_{j,y})\choose a_{i,x}-b_{j,x}}e(ai,bj)=(ai,x−bj,x(ai,x−bj,x)+(ai,y−bj,y))

又因为本题中 ai=(0,ai)a_i=(0,a_i)ai=(0,ai)，bj=(j,0)b_j=(j,0)bj=(j,0)，所以e(ai,bj)=(ai+jj)e(a_i,b_j)={a_i+j\choose j}e(ai,bj)=(jai+j)
根据 (nm)=n!m!(n−m)!{n \choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(mn)=m!(n−m)!n! 展开 e(ai,bj)=(ai+j)!j!ai!e(a_i,b_j)=\frac{(a_i+j)!}{j!a_i!}e(ai,bj)=j!ai!(ai+j)!

于是目标行列式为

M=∣(a1+1)!1!a1!(a1+2)!2!a1!⋯(a1+n)!n!a1!(a2+1)!1!a2!(a2+2)!2!a2!⋯(a2+n)!n!a2!⋮⋮⋱⋮(an+1)!1!an!(an+2)!2!an!⋯(an+n)!n!an!∣M=\left |\begin{array}{cccc} \frac{(a_1+1)!}{1!a_1!} &\frac{(a_1+2)!}{2!a_1!} &\cdots& \frac{(a_1+n)!}{n!a_1!} \\ \frac{(a_2+1)!}{1!a_2!} &\frac{(a_2+2)!}{2!a_2!} &\cdots& \frac{(a_2+n)!}{n!a_2!} \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ \frac{(a_n+1)!}{1!a_n!} & \frac{(a_n+2)!}{2!a_n!} &\cdots&\frac{(a_n+n)!}{n!a_n!} \\ \end{array}\right| M=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1!a1!(a1+1)!1!a2!(a2+1)!⋮1!an!(an+1)!2!a1!(a1+2)!2!a2!(a2+2)!⋮2!an!(an+2)!⋯⋯⋱⋯n!a1!(a1+n)!n!a2!(a2+n)!⋮n!an!(an+n)!∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

每列提出 1j!\frac{1}{j!}j!1

M=∏j=1n1j!∣(a1+1)!a1!(a1+2)!a1!⋯(a1+n)!a1!(a2+1)!a2!(a2+2)!a2!⋯(a2+n)!a2!⋮⋮⋱⋮(an+1)!an!(an+2)!an!⋯(an+n)!an!∣M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\left |\begin{array}{cccc} \frac{(a_1+1)!}{a_1!} &\frac{(a_1+2)!}{a_1!} &\cdots& \frac{(a_1+n)!}{a_1!} \\ \frac{(a_2+1)!}{a_2!} &\frac{(a_2+2)!}{a_2!} &\cdots& \frac{(a_2+n)!}{a_2!} \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ \frac{(a_n+1)!}{a_n!} & \frac{(a_n+2)!}{a_n!} &\cdots&\frac{(a_n+n)!}{a_n!} \\ \end{array}\right| M=j=1∏nj!1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1!(a1+1)!a2!(a2+1)!⋮an!(an+1)!a1!(a1+2)!a2!(a2+2)!⋮an!(an+2)!⋯⋯⋱⋯a1!(a1+n)!a2!(a2+n)!⋮an!(an+n)!∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

化简

M=∏j=1n1j!∣(a1+1)(a1+1)(a1+2)⋯(a1+1)(a1+2)...(a1+n)(a2+1)(a2+1)(a2+2)⋯(a2+1)(a2+2)...(a2+n)⋮⋮⋱⋮(an+1)(an+1)(an+2)⋯(an+1)(an+2)...(an+n)∣M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\left |\begin{array}{cccc} (a_1+1) &(a_1+1)(a_1+2) &\cdots& (a_1+1)(a_1+2)...(a_1+n) \\ (a_2+1) &(a_2+1)(a_2+2) &\cdots& (a_2+1)(a_2+2)...(a_2+n) \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ (a_n+1) &(a_n+1)(a_n+2) &\cdots&(a_n+1)(a_n+2)...(a_n+n) \\ \end{array}\right| M=j=1∏nj!1∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a1+1)(a2+1)⋮(an+1)(a1+1)(a1+2)(a2+1)(a2+2)⋮(an+1)(an+2)⋯⋯⋱⋯(a1+1)(a1+2)...(a1+n)(a2+1)(a2+2)...(a2+n)⋮(an+1)(an+2)...(an+n)∣∣∣∣∣∣∣∣∣

根据 (x+1)2=x2+2x+1=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+1)^2=x^2+2x+1=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+1)2=x2+2x+1=(x+1)(x+2)+(x+1)

以及 (x+1)3=x3+3x2+3x+1=(x+1)(x+2)(x+3)−3(x+1)(x+2)+(x+1)(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)(x+2)(x+3)-3(x+1)(x+2)+(x+1)(x+1)3=x3+3x2+3x+1=(x+1)(x+2)(x+3)−3(x+1)(x+2)+(x+1)

所以根据行列式的初等变换，是可以通过前面的列消去后面的列，使得行列式变成

M=∏j=1n1j!∣(a1+1)(a1+1)2⋯(a1+1)n(a2+1)(a2+1)2⋯(a2+1)n⋮⋮⋱⋮(an+1)(an+1)2⋯(an+1)n∣M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\left |\begin{array}{cccc} (a_1+1) &(a_1+1)^2 &\cdots& (a_1+1)^n\\ (a_2+1) &(a_2+1)^2 &\cdots& (a_2+1)^n \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ (a_n+1) &(a_n+1)^2 &\cdots&(a_n+1)^n\\ \end{array}\right| M=j=1∏nj!1∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a1+1)(a2+1)⋮(an+1)(a1+1)2(a2+1)2⋮(an+1)2⋯⋯⋱⋯(a1+1)n(a2+1)n⋮(an+1)n∣∣∣∣∣∣∣∣∣

不难看出每一行提出 (x+1)(x+1)(x+1) 后，这就是一个范德蒙德行列式

M=∏j=1n1j!∏i=1n(ai+1)∣1(a1+1)⋯(a1+1)n−11(a2+1)⋯(a2+1)n−1⋮⋮⋱⋮1(an+1)⋯(an+1)n−1∣M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)\left |\begin{array}{cccc} 1 &(a_1+1) &\cdots& (a_1+1)^{n-1}\\ 1 &(a_2+1) &\cdots& (a_2+1)^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ 1 &(a_n+1) &\cdots&(a_n+1)^{n-1}\\ \end{array}\right| M=j=1∏nj!1i=1∏n(ai+1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣11⋮1(a1+1)(a2+1)⋮(an+1)⋯⋯⋱⋯(a1+1)n−1(a2+1)n−1⋮(an+1)n−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣

即

M=∏j=1n1j!∏i=1n(ai+1)∏1≤i<j≤n((aj+1)−(ai+1))M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)\prod\limits_{1\le i<j\le n}((a_j+1)-(a_i+1))M=j=1∏nj!1i=1∏n(ai+1)1≤i<j≤n∏((aj+1)−(ai+1))

化到最简

M=∏j=1n1j!∏i=1n(ai+1)∏1≤i<j≤n(aj−ai)M=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)\prod\limits_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)M=j=1∏nj!1i=1∏n(ai+1)1≤i<j≤n∏(aj−ai)

瓶颈在于如何快速求解 ∏1≤i<j≤n(aj−ai)\prod\limits_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)1≤i<j≤n∏(aj−ai)，参考之前的题目：2021HDU多校7 - 7054 不难发现可以将 aj−aia_j-a_iaj−ai 视为背包，求出 c[k]c[k]c[k] 为 aj−ai=ka_j-a_i=kaj−ai=k 的方案数，那么答案就是 ∏kc[k]\prod k^{c[k]}∏kc[k] 了，加个偏移量当背包转移就好啦

需要注意的是，因为本题保证了 aia_iai 是互不相同的，所以 c[k]c[k]c[k] 不会太大，不需要用 MTTMTTMTT 降幂，用 NTTNTTNTT 就足够了

代码：

// Problem: Cells
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11260/C
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e6+100,M=1e6,mod=998244353,G=3,Gi=(mod+1)/3;
int limit,L,r[N];
int a[N],b[N];
int q_pow(int a,int b) {int ans=1;while(b) {if(b&1) ans=1LL*ans*a%mod;a=1LL*a*a%mod,b>>=1;}return ans;
}
int inv(int x) {return q_pow(x,mod-2);
}
void NTT(int *A,int type) {for(int i=0;i<limit;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1) {    int Wn=q_pow(type==1?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1));for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1)) {int w=1;for(int k=0;k<mid;k++,w=1LL*w*Wn%mod) {int x=A[j+k],y=1LL*w*A[j+k+mid]%mod;A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;}}}if(type==-1) {int inv=q_pow(limit,mod-2);for(int i=0;i<limit;i++) {A[i]=1LL*A[i]*inv%mod;}}
}
void init(int n,int m) {limit=1;L=0;while(limit<=n+m) limit<<=1,L++;for(int i=0;i<limit;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);LL ans=1,fac=1;for(int i=1,x;i<=n;i++) {read(x);fac=fac*i%mod;ans=ans*inv(fac)%mod;ans=ans*(x+1)%mod;a[x]=1;b[M-x]=1;}init(M+1,M+1);NTT(a,1),NTT(b,1);for(int i=0;i<limit;i++) {a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;}NTT(a,-1);for(int i=M+1;i<=M+M;i++) {ans=ans*q_pow(i-M,a[i])%mod;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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