青蛙的约会（洛谷-P1516）

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2 3 4 5

输出样例#1：

4

思路：

根据题意，两只青蛙在一环形的路径跳跃，当两只青蛙跳到同一个点上才算遇到，即当两只青蛙的路程差等于环路周长的整数倍时才算相遇。

设：青蛙跳的次数是 t，A 青蛙与 B 青蛙的所跳的圈数差是 p

由题意： $(x+m*t)-(y+n*t)=p*L$

由于 x、y、m、n、L 均是已知量，因此方程可转为： $(n-m)*t+L*p=x-y$ 的形式

令： $a=n-m,b=L,d=x-y$

则原方程有线性同余方程的形式： $a*t+b*p=d$ ①

根据线性同余方程定理1，要想使方程有整数解，需要满足： $d\:\, mod \:\,GCD(a,b)=0$

根据拓展欧几里德算法，求出一组解 $(t_0,p_0)$ ，并令 $c=GCD(a,b)$

故有： $a*t_0+b*p_0=c$ ②

方程 ② 两边同时乘以 $d/c$ 得： $a*t_0*(d/c)+b*p_0*(d/c)=d$

与 ① 式比较系数得 $(t_0*d/c,p_0*d/c)$ 是一组解

由于所得的一组解中的 $t_0*d/c$ 不一定是最小正整数解，根据线性同余方程定理2

可得： $a*(t_0*(d/c)+(b*k))+b*(p_0*(d/c)-(a*k))=d,k\in Z$

故： $t_0*(d/c)+(b*k),k\in Z$ 是 x 的所有解

为使 x 尽可能的小，对 b 进行处理，即令： $b'=b/c$

因此，方程的最小正整数解为： $x=(t_0*(d/c)\: mod\: b'+b') \: mod\: b'$

源代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 100001
#define MOD 123
#define E 1e-6
using namespace std;
int Extended_GCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}long long gcd=Extended_GCD(b,a%b,x,y);y-=x*(a/b);return gcd;
}
int main()
{long long x,y,m,n,l;cin>>x>>y>>m>>n>>l;long long t,p;long long a=x-y,b=n-m;if(b<0){b=-b;a=-a;}int gcd=Extended_GCD(b,l,t,p);if(a%gcd)cout<<"Impossible"<<endl;else{cout<<((t*a/gcd)%(l/gcd)+(l/gcd))%(l/gcd)<<endl;}return 0;
}

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