P1516 青蛙的约会

题意：在一个长为\(l\)的环上面有两只青蛙，一只出发点为\(x\)，一次跳\(m\)，另一只出发点为\(y\)，一次跳\(n\)，求相遇时间。

这个长为\(l\)的环不难想到了以\(l\)为模的同余。其实就是求这个\(t\)：\(x+t\times m \equiv y + t \times n\pmod l\)

把这个变成普通式子：\(x - y + t(m - n) = k \times l\)

整理一下：\(t \times (m-n) - k \times l = y - x\)

这是一个二元不定方程，也就很自然地想到了另一个式子：\(t' \times (m-n) - k' \times l = gcd(m - n, l)\)

用肥鼠定理可以判断无解。套exgcd模板可以求出\(t'\)和\(k'\)。

上面两个式子如果有解的话一定是倍数关系的，所以有这么一个式子：\(\frac{gcd(m-n,l)}{y-x} = \frac{t'}{t}\)，即\(t=\frac{t'(y-x)}{gcd(m-n,l)}\)。

但是\(t\)可能是负数，我们需要调整\(t\)为最小正整数解。

使用exgcd的通解公式：\(x=x_0+k\times \frac{b}{gcd(a,b)}\)。把里面的式子换成这道题的就行了。

有个需要注意的：

\(gcd\)是不支持负数的，所以这个\(y-x\)要确保为正，当这个\(y-x\)为负时，同时给\(m-n\)和\(y-x\)添负号。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
#define ll long longll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if(b == 0) {x = 1; y = 0; return a;} else {ll ret = exgcd(b, a % b, x, y);ll t = x;x = y;y = t - a / b * y;return ret;}
}
int main() {ll x, y, m, n, l; cin >> x >> y >> m >> n >> l;// x + m * t === y + n * t (mod l)// x - y + t * (m - n) = k * l// t * (m - n) - k * l = y - xll A = m - n, B = l, C = y - x;if(A < 0) {A = -A; C = -C;}ll g = exgcd(A, B, x, y);if(C % g) {cout << "Impossible" << endl;return 0;}x = x * C / g;// C : g = t : xll bg = B / g;if(bg < 0) bg = -bg;x = (x % bg + bg) % bg;cout << x << endl;return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Garen-Wang/p/10403366.html

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