欧几里德

基本思想：gcd(q,r)=gcd(r,q%r);
证明，设q、r的最大公因数为a，则q=xa，r=ya，xy互质
不妨设x>y（显然如果小于会在一次gcd运算后交换）
则q%r=（x%y）*a
显然,其与r的最大公因数仍是a
时间复杂度：接近于log级

代码

ll gcd(ll q,ll r){if(r==0){return q;}return gcd(r,q%r);
}

扩展欧几里德

对于q，r 及其最大公因数g，不定方程：
aq+br=g
必定存在无限多对整数a、b的解（证明会在下面给出）
拓展欧几里德就是用于求出这个a与b的一对特殊值
对于递归转移，有如下方程：

gcd(q,r):a*q+b*r=g;
gcd(r,q%r):A*r+B*(q%r)=g;

任务是得到ab与AB之间的转移
又因为：

q%r=q-r*(q/r);

方程联立，可解得：

(B-a)*q+(A-b-(x/y)*B)*r=0;

各系数为0；
即：

a=B;
b=A-(q/r)*B;

问题得到解决

代码

ll gcd(ll q,ll r){//a和b全局或传参皆可if(r==0){b=0;a=1;return q;}ll c=gcd(r,q%r);trans=a;//中转一下a=b;b=trans-(q/r)*b;return c;
}

回到前面的问题：

对于q，r 及其最大公因数g，不定方程：
aq+br=g
必定存在无限多对整数a、b的解

可以通过上面这个代码发现：
不断辗转取模，q、r单调递减
一定会达到边界值（r==0)
那么就可以往回递归a与b
其值是存在且确定的

应用：求解不定方程

对于关于整数a、b的不定方程：
am+bn=w

若mn的最大公因数为g
则m和n可以分别写为k1g和k2g（k1k2均为整数）
那么原方程可以改写为：
ak1g+bk2g=w

显然，当w不能整除g时，方程无解（反证易得）

当w整除g时：
w可以写为cg，c为整数
由拓展欧几米德可知：
ak1g+bk2g=g 恒有解
两边同乘c：
cak1g+cbk2g=cg
即：
cak1g+cbk2g=w
显然这里的ca与cb就是一对整数解

综上，我们得出结论：

对于关于整数a、b的不定方程：
am+bn=w
当且仅当w整除g时，方程有解
其中一对特殊解为ca，cb（字母定义同上）

从特殊解得到普遍解

那么如何从特殊解得到普遍解呢？
设当前已知的解为x0，y0,另一对解为x,y
那么：

x0m+y0n=w;
xm+yn=w

两式相减:
(x0-x)m+(y0-y)n=0;
设k1=x0-x，k2=y0-y;
那么k1,k2就是两个解上下浮动的间隔
再移项得到
k1m=-k2n
左边是m的倍数
右边是n的倍数
那么不难看出，等号两边是m和n的公倍数
那么取m与n的最小公倍数时，k1k2取到绝对值最小的值
最小公倍数可以写成mn/gcd（m，n）
即：
k1（min）*m=mn/gcd（m,n）
即：k1(min)=n/gcd(m,n)
同理k2(min)=m/gcd(m,n）

综上
若一组特殊解为x0，y0
则所有解的集合是：

x0+tn/gcd(m,n)
y0+tm/gcd(m,n）

t为同一个整数；
注意x0对应的是m，换句话说就是交叉对应

代码

（这题是洛谷P1516 青蛙的约会的题解)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <set>
#include <string>
#include <iostream>
#include <climits>
#define ll long long
using namespace std;
const int M = 500050;
const int N = 500050;
const ll mod = 1000000007;
ll x,y,m,n,l;
ll a,b,g,p,w,trans;
ll gcd(ll q,ll r){if(r==0){b=0;a=1;return q;}ll c=gcd(r,q%r);trans=a;a=b;b=trans-(q/r)*b;return c;
}
int main() {scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);p=n-m;w=x-y;if(p<0){w=-w;p=-p;}g=gcd(p,l);if(w%g){printf("Impossible");return 0;}
//  printf("a=%lld g*l=%lld p=%lld l=%lld g=%lld b=%lld w=%lld\n",a,g*l,p,l,g,b,w);while(a<0) a+=(g*l);ll k=w/g;a*=k;if(a<0) a+=(((-a)/(l/g))+1)*(l/g);//寻找到最小正整数解a%=(l/g);printf("%lld",a);return 0;
}
/*
*/

thanks for reading!

特别鸣谢：lq、qyt、wyx三位大佬对证明过程中问题的指出awa

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