数字信号处理——离散傅里叶变换

一、四种信号的傅里叶分析。

四种信号时域与频域之间的关系。

时域离散化<=>频域周期化（时域抽样定理）

时域周期化<=>频域离散化（频域抽样定理）

上图中，第一张子图，时域和频域均为连续函数，它无法用ADC采样，以及无法用FPGA/DSP来计算出频谱。

第二张子图，时域为连续函数，它无法用ADC采样得到。

第三张子图，频域为连续函数，它无法用FPGA/DSP来计算出频谱。

第四张子图，时域是离散的，对应了ADC采样后为离散的数值，而频域也为离散的，说明离散傅里叶变换的结果不能完全代表实际的频谱（存在误差），但是离散傅里叶变换可以让你观察到频谱的大致的趋势。

只有时域和频域均为离散的，才可以使用ADC采样后，再通过FPGA/DSP等数字芯片进行处理。

二、傅里叶变换的解析。

对离散周期信号取一个周期的值，再做离散傅里叶级数，就是离散傅里叶变换。

所以离散傅里叶变换，暗含了把离散非周期信号经过周期延拓后，变成了离散周期信号。

只不过周期延拓不需要自己处理，这也简化了计算。

同时，揭示了傅里叶变换的基是周期的正弦信号，所以它只能将周期信号变换到频域中去。

傅里叶变换的基，是优势的同时也是劣势。因为它不能处理时变信号，比如：心电信号等。

对于时变信号，使用小波变换更适合，因为小波变换的基不是周期信号，而是一个有限长且衰减的基，所以它既能提取频域的信息，也能提取时域的信息。

三、三角函数的正交性。

这里，sin和cos是正交的，只有与自己频率相同时，积分不为0，也就是说留下了该频率。

而与自己频率不同的，积分为0，就是去掉了。

我们再看傅里叶变换的公式。

其中指数可以用欧拉公式转为正弦函数

而积分限为负无穷到正无穷，可以看成是整个频域，从负无穷一直扫频到正无穷，积分不为0的频率，就留下来了，最后连在一起形成了频谱。

其中，模为幅频特性，而相角为相频特性。

这就是为什么傅里叶变换需要用正交的正弦、余弦函数了，那么换成另一种也是正交的函数，作为傅里叶变换的基，是否也是可行的？这个问题由读者自己思考了。

连续信号的傅里叶变换是积分，那么对于离散信号的傅里叶变换就是求和，但要满足绝对可和的条件。

四、离散傅里叶变换Matlab实现。

function [] = dft()
clear;close all;clc;%选择其中一行xk
xk = [1,1,1,1]; % 时域
% xk = [1,1,1,1,0,0,0,0]; % 时域
% xk = [1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0]; % 时域N = length(xk);
Wn = zeros(N,N);
WnExpRect = zeros(N,N);
for m=1:Nfor k=1:N%m和k作为Matlab数组下标是从1开始(但公式上是从0开始)% 但是作为幂要减1WnExpRect(m,k) = (m-1)*(k-1); %Wn幂的矩阵Wn(m,k) = calW(N)^((m-1)*(k-1));end
end
WnExpRect
Xm = Wn * xk' % 矩阵相乘得到DFT结果,频域
subplot(211)
stem(xk);
subplot(212)
stem(abs(Xm)); % 幅频特性
hold on
plot(abs(Xm));function result = calW(N) %计算Wnresult = exp(-i * (2*pi/N));

xk = [1,1,1,1]; 时，如下图所示。

xk = [1,1,1,1,0,0,0,0]; 时，如下图所示。

xk = [1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0]; 时，如下图所示。

可以看出，给序列补零可以得到更多的抽样值，频谱也更接近真实的趋势。

五、离散傅里叶反变换Matlab实现。

function [] = idft()
clear;close all;clc;%选择其中一行xk
Xm = [4,0,0,0]; % 频域N = length(Xm);
Wn = zeros(N,N);
WnExpRect = zeros(N,N);
for m=1:Nfor k=1:N%m和k作为Matlab数组下标是从1开始(但公式上是从0开始)% 但是作为幂要减1WnExpRect(m,k) = (m-1)*(k-1); %Wn幂的矩阵Wn(m,k) = calW(N)^(-(m-1)*(k-1));end
end
WnExpRect
xk = (Wn * Xm')/N % 矩阵相乘得到IDFT结果,时域
subplot(211)
stem(abs(Xm));
subplot(212)
stem(xk); % 时频
hold on
plot(xk);function result = calW(N) %计算Wnresult = exp(-i * (2*pi/N));