【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 频域函数的共轭对称分解 | 序列的傅里叶变换 | 傅里叶变换的共轭对称 | 傅里叶变换的共轭反对称 )
文章目录
- 一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解
- 二、序列对称分解定理
- 三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称
x(n)x(n)x(n) 的 傅里叶变换 是 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) ,
x(n)x(n)x(n) 存在 共轭对称 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 共轭反对称 xo(n)x_o(n)xo(n) ,
X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也存在着 共轭对称 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 和 共轭反对称 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) ;
一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解
频域函数的共轭对称分解 :
任意函数
X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)
都可以分解成 共轭对称分量
Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω)
和 共轭反对称分量
Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω)
之和 , 表示为 :
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
二、序列对称分解定理
序列对称分解定理 :
任意一个 序列 x(n)x(n)x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和来表示 ;
x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)
共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]
共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 与 原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :
xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]
x(n)x(n)x(n) 的 傅里叶变换 是 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) ,
x(n)x(n)x(n) 存在 共轭对称 xe(n)x_e(n)xe(n) 与 共轭反对称 xo(n)x_o(n)xo(n) ,
X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也存在着 共轭对称 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 和 共轭反对称 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) ;
三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称
在
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
式子中 , 根据 序列对称分解定理 ,
Xe(ejω)=0.5×[X(ejω)+X∗(e−jω)]X_e(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) ]Xe(ejω)=0.5×[X(ejω)+X∗(e−jω)]
Xo(ejω)=0.5×[X(ejω)−X∗(e−jω)]X_o(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) - X^*(e^{-j\omega}) ]Xo(ejω)=0.5×[X(ejω)−X∗(e−jω)]
其中 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 是共轭对称的 , 对应实数的 偶对称 , 有如下特性 :
Xe(ejω)=Xe∗(e−jω)X_e(e^{j\omega}) = X_e^*(e^{-j\omega})Xe(ejω)=Xe∗(e−jω)
其中 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) 是共轭反对称的 , 对应实数的 奇对称 , 有如下特性 :
Xo(ejω)=−Xo∗(e−jω)X_o(e^{j\omega}) = -X_o^*(e^{-j\omega})Xo(ejω)=−Xo∗(e−jω)
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