文章目录

一、前置概念
- 1、序列对称分解定理
- 2、傅里叶变换
- 3、傅里叶变换的共轭对称分解
二、序列傅里叶变换共轭对称性质
- 0、序列傅里叶变换共轭对称性质
- - x(n) 分解为实部序列与虚部序列
  - x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
  - X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
  - X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
- 1、序列实部傅里叶变换
- 2、序列虚部傅里叶变换
- 3、共轭对称序列傅里叶变换
- 4、共轭反对称序列傅里叶变换

一、前置概念

1、序列对称分解定理

序列对称分解定理 : 任意一个序列 x(n)x(n)x(n) , 都可以使用其共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和来表示 ;

x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)

共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 与原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :

xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]xe(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 与原序列 x(n)x(n)x(n) 之间的关系如下 :

xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]xo(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

2、傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换是 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) ,

x(n)x(n)x(n) 存在共轭对称 xe(n)x_e(n)xe(n) 与共轭反对称 xo(n)x_o(n)xo(n) ,

X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也存在着共轭对称 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 和共轭反对称 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) ;

3、傅里叶变换的共轭对称分解

傅里叶变换的共轭对称分解 :

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

其中 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 是 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 , Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 是傅里叶变换的共轭对称分量 , Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) 是傅里叶变换的共轭反对称分量 ,

二、序列傅里叶变换共轭对称性质

0、序列傅里叶变换共轭对称性质

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)x(n)x(n) 可以分解为实部序列 xR(n)x_R(n)xR(n) 和虚部序列 jxI(n)j x_I(n)jxI(n) :

x(n)=xR(n)+jxI(n)x(n) = x_R(n) + j x_I(n)x(n)=xR(n)+jxI(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , x(n)x(n)x(n) 还可以由序列的共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 和共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 之和表示 ;

x(n)=xe(n)+xo(n)x(n) = x_e(n) + x_o(n)x(n)=xe(n)+xo(n)

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 也可以分解为实部序列 XR(ejω)X_R(e^{j\omega})XR(ejω) 和虚部序列 jXI(ejω)j X_I(e^{j\omega})jXI(ejω) :

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据傅里叶变换的共轭对称分解 , x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x(n)x(n)x(n) 的共轭对称序列的傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j\omega})Xe(ejω) 与 x(n)x(n)x(n) 的共轭反对称序列的傅里叶变换 Xo(ejω)X_o(e^{j\omega})Xo(ejω) 之和表示 ;

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

1、序列实部傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 序列的实部 xR(n)x_R(n)xR(n) 的傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的共轭对称序列 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω);

xR(n)x_R(n)xR(n) 的傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω) 具备共轭对称性 ;

xR(n)⟷SFTXe(ejω)x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})xR(n)⟷SFTXe(ejω)

2、序列虚部傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 序列的虚部 xI(n)x_I(n)xI(n) 的傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的共轭反对称序列 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω);

jxI(n)jx_I(n)jxI(n) 的傅里叶变换 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω) 具备共轭反对称性 :

jxI(n)⟷SFTXo(ejω)jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})jxI(n)⟷SFTXo(ejω)

3、共轭对称序列傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 的共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的傅里叶变换 , 一定是一个实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)

xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)

4、共轭反对称序列傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 的共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 的傅里叶变换 , 一定是一个纯虚序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)

xo(n)⟷SFTjXI(ejω)x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})xo(n)⟷SFTjXI(ejω)

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