文章目录

一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例
- 1、序列傅里叶变换共轭对称性质
- - 1、序列实部傅里叶变换
  - 2、序列虚部傅里叶变换
  - 3、共轭对称序列傅里叶变换
  - 4、共轭反对称序列傅里叶变换
2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换
3、序列分析

一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例

x(n)=anu(n)x(n) = a^n u(n)x(n)=anu(n) , 且 ∣a∣<1|a|<1∣a∣<1

1、序列傅里叶变换共轭对称性质

1、序列实部傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 序列的实部 xR(n)x_R(n)xR(n) 的傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的共轭对称序列 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω);

xR(n)x_R(n)xR(n) 的傅里叶变换 Xe(ejω)X_e(e^{j \omega})Xe(ejω) 具备共轭对称性 ;

xR(n)⟷SFTXe(ejω)x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})xR(n)⟷SFTXe(ejω)

2、序列虚部傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 序列的虚部 xI(n)x_I(n)xI(n) 的傅里叶变换 , 就是 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的共轭反对称序列 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω);

jxI(n)jx_I(n)jxI(n) 的傅里叶变换 Xo(ejω)X_o(e^{j \omega})Xo(ejω) 具备共轭反对称性 :

jxI(n)⟷SFTXo(ejω)jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})jxI(n)⟷SFTXo(ejω)

3、共轭对称序列傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 的共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的傅里叶变换 , 一定是一个实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)

xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)

4、共轭反对称序列傅里叶变换

x(n)x(n)x(n) 的共轭反对称序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 的傅里叶变换 , 一定是一个纯虚序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)

xo(n)⟷SFTjXI(ejω)x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})xo(n)⟷SFTjXI(ejω)

2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换

根据傅里叶变换公式计算 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 , 公式如下 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

将

anu(n)a^nu(n)anu(n)

序列 , 直接带入到

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

X(ejω)=∑n=0+∞ane−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n}X(ejω)=n=0∑+∞ane−jωn

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

X(ejω)=11−ae−jωX(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}X(ejω)=1−ae−jω1

3、序列分析

该信号 x(n)x(n)x(n) 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;

只有序列是偶对称时 , 才有 xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω) 性质 ,
只有序列是奇对称时 , 才有 xo(n)⟷SFTjXI(ejω)x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})xo(n)⟷SFTjXI(ejω) 性质 ;

因此 , 这里 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换 , 既不是实数 , 也不是虚数 , 那么就一定是复数 ;

分析 x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换复数序列的实部和虚部 :

由于 x(n)=anu(n)x(n) = a^n u(n)x(n)=anu(n) 序列是实数 ,

其傅里叶变换

SFT[x(n)]=X(ejω)=11−ae−jωSFT[x(n)] =X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}SFT[x(n)]=X(ejω)=1−ae−jω1

一定是共轭对称的 ;

分解 SFT[x(n)]SFT[x(n)]SFT[x(n)] 的实部和虚部 :

X(ejω)=1−acos⁡ω1+a2−2acos⁡ω−jasin⁡ω1+a2−2acos⁡ωX(e^{j\omega}) = \cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } - j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega }X(ejω)=1+a2−2acosω1−acosω−j1+a2−2acosωasinω

共轭对称的傅里叶变换 , 实部是偶对称的 , 虚部是奇对称的 ;

傅里叶变换的模 , 即傅里叶变换取绝对值 ∣X(ejω)∣|X(e^{j\omega})|∣X(ejω)∣ , 是偶对称的 ;

∣X(ejω)∣=1(1+a2−2acos⁡ω)12|X(e^{j\omega})| = \cfrac{1}{ ( 1 + a^2 - 2a\cos \omega )^{\frac{1}{2}} }∣X(ejω)∣=(1+a2−2acosω)211

根据如下定理 : x(n)x(n)x(n) 的共轭对称序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 的傅里叶变换 , 一定是一个实序列 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω)

xe(n)⟷SFTXR(ejω)x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})xe(n)⟷SFTXR(ejω)

可得 : 傅里叶变换的实部 1−acos⁡ω1+a2−2acos⁡ω\cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega }1+a2−2acosω1−acosω 的傅里叶反变换 , 对应的是 x(n)x(n)x(n) 的共轭对称分量 ;

傅里叶变换的虚部 −jasin⁡ω1+a2−2acos⁡ω- j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega }−j1+a2−2acosωasinω 的傅里叶反变换 , 对应的是 x(n)x(n)x(n) 的共轭反对称分量 ;

在【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 ) 博客中 , 推导了共轭对称序列与原序列的关系 , 这里当做一个先决的条件 , 之后需要使用 ;

实因果序列的对称序列与原序列关系 : 先将结果放在这里 , 之后需要使用 ;

he(n)h_e(n)he(n) 与 h(n)h(n)h(n) 关系 :

he(n)={h(0)n=0h(n)2n>0h(−n)2n<0h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}he(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧h(0)2h(n)2h(−n)n=0n>0n<0

ho(n)h_o(n)ho(n) 与 h(n)h(n)h(n) 关系 :

ho(n)={0n=0h(n)2n>0−h(−n)2n<0h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases}ho(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧02h(n)2−h(−n)n=0n>0n<0

下面继续分析上述序列 :

下面的序列 xe(n)x_e(n)xe(n) 为实偶 ,

xe(n)={1n=0an2n>0a−n2n<0x_e(n) =\begin{cases} 1 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases}xe(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧12an2a−nn=0n>0n<0

根据如下定理 :

如果 x(n)x(n)x(n) 序列是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

则 xe(n)x_e(n)xe(n) 的傅里叶变换 XR(ejω)X_R(e^{j \omega})XR(ejω) 也是实偶的 ;

下面的序列 xo(n)x_o(n)xo(n) 为实奇 ,

xo(n)={0n=0an2n>0−a−n2n<0x_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ -\cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases}xo(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧02an−2a−nn=0n>0n<0

根据如下定理 :

如果 x(n)x(n)x(n) 序列是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

则 xo(n)x_o(n)xo(n) 的傅里叶变换 jXI(ejω)jX_I(e^{j \omega})jXI(ejω) 也是虚奇的 ;

原序列 x(n)x(n)x(n) 图像如下 :

x(−n)x(-n)x(−n) 图像 , 就是将 x(n)x(n)x(n) 图像 , 以 yyy 轴为中心进行镜像 :

x(n)x(n)x(n) 序列的共轭对称分量 xe(n)x_e(n)xe(n) 就是 x(n)x(n)x(n) 与 x(−n)x(-n)x(−n) 相加 , 除以 222 :

xe(n)=x(n)+x(−n)2x_e(n) = \cfrac{x(n) + x(-n)}{2}xe(n)=2x(n)+x(−n)

x(n)x(n)x(n) 序列的共轭反对称分量 xo(n)x_o(n)xo(n) 就是 x(n)x(n)x(n) 与 x(−n)x(-n)x(−n) 相减 , 除以 222 :

xo(n)=x(n)−x(−n)2x_o(n) = \cfrac{x(n) - x(-n)}{2}xo(n)=2x(n)−x(−n)

x(n)x(n)x(n) 的模图像如下 , 是偶对称的 ;

x(n)x(n)x(n) 的实部图像如下 , 是偶对称的 ;

x(n)x(n)x(n) 的虚部图像如下 , 是奇对称的 ;

x(n)x(n)x(n) 的相位图像如下 , 是奇对称的 ;

【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 )相关推荐

【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 实序列的幅频特性偶对称 | 实序列相频特性奇对称 | 示例说明 )
文章目录一.实序列的幅频特性和相频特性对称性质二.性质由来三.示例说明一.实序列的幅频特性和相频特性对称性质如果 x(n)x(n)x(n) 序列是 " 实序列 &q ...
数字信号处理——Python实现快速傅里叶变换FFT
文章首发于我的个人博客 1.FFT背景快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,它是根据离散傅里叶的奇.偶.虚.实等特性,在DFT的基础上进行改进获得的.它对傅里叶变换的理论没有 ...
数字信号处理之变换：傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换等
傅里叶变换.拉普拉斯变换.自(互)相关及卷积是线性系统分析里最重要的四个数学工具. 数字信号处理中常用的几种变换:傅里叶变换.短时傅里叶变换.小波变换.希尔伯特-黄变换.拉普拉斯变换. 线性变换:傅里 ...
信号与系统、数字信号处理、滤波、傅里叶变换、数字信号模拟信号采样信号、滤波器零阶保持器
目录 1 几个重要的概念.定义 2 信号 2.1 模拟信号.连续信号.连续时间信号 2.2 数字信号.采样信号.离散信号.离散时间信号.序列 2.3 信号的MATLAB实现 2.3.1 信号的表示 2 ...
实验一熟悉matlab环境,数字信号处理报告实验一：熟悉MATLAB环境.doc
数字信号处理报告实验一:熟悉MATLAB环境.doc 实验一熟悉MATLAB环境一实验目的1. 熟悉MATLAB的主要操作命令.2. 学会简单的矩阵输入和数据读写.3. 掌握简单的绘图命令.4. 用 ...
【数字信号处理】相关函数 ( 自相关函数示例 )
文章目录一.自相关函数示例一.自相关函数示例给定一个 " 周期函数 " : x(n)=Asin⁡(ωn)x(n) = A \sin (\omega n)x(n)=Asin ...
数字信号处理翻转课堂笔记1
数字信号处理第一次翻转课堂 Flipped Classroom1 of DSP 对应教材:<数字信号处理(第五版)>西安电子科技大学出版社,高西全,丁玉美著一.要点 1.了解数字信号处理 ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明原序列实部 x_R(n) 的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的共轭对称序列 )
文章目录一.前置公式定理 1.相关元素说明 x(n) 分解为实部序列与虚部序列 x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 ) X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列 X( ...
【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明共轭对称序列 x_e(n) 的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部 )
文章目录一.前置公式定理 1.相关元素说明 x(n) 分解为实部序列与虚部序列 x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 ) X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列 X( ...

【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 )